Question

Найдите нули функции y=cos^2 x - sin^2 x на промежутке [0; П]

Answer 1

Cos²x - Sin²x = Cos2x
Cos2x = 0
$2x = \frac{ \pi }{2}+ \pi n\\\\x= \frac{ \pi \p }{4} + \frac{ \pi n}{2}\\\\0 \leq \frac{ \pi }{4}+ \frac{ \pi n}{2} \leq \pi \\\\- \frac{ \pi }{4} \leq \frac{ \pi n}{2} \leq \frac{3 \pi }{4} \\\\- \frac{1}{2} \leq n \leq \frac{3}{2} \\\\n=0 , x _{1} = \frac{ \pi }{4}\\\\n=1 , x _{2} = \frac{ \pi }{4} + \frac{ \pi }{2} = \frac{3 \pi }{4}$

Answer 2

Нули функции - точки, в которых функция принимает нулевое значение, то есть при y=0.
$y=cos^2x-sin^2x \\y=0 \\0=cos^2x-sin^2x$
решаем это уравнение:
свернем по формуле косинус двойного угла
$cos^2x-sin^2x=0 \\cos2x=0 \\2x= \frac{\pi}{2} +\pi n \\x= \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} ,\ n \in Z$
теперь найдем корни этого уравнения на промежутке [0;π]
$0\leq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}\leq \pi \\0\leq \pi+2\pi n\leq 4\pi \\0\leq 1+2n\leq 4 \\-1\leq 2n \leq 3 \\ -\frac{1}{2} \leq n \leq \frac{3}{2} \\n=0; x= \frac{\pi}{4} \\n=1; x= \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{4}$
Ответ: $\frac{\pi}{4};\ \frac{3\pi}{4}$