Question

40 баллов!
Найдите, если это возможно, такие целые числа а, b, с и d, что для всех значений x выполняется равенство: x^4 + x^2 - 4x - 3 = (x^2 + ах + b)(х^2 + сх + d)

Answer 1

X^4 + x^2 - 4x - 3 = (x^2 + ах + b)(х^2 + сх + d)1*x^4 + 0*x^3 +  1*x^2 - 4*x - 3 = (x^2 + ах + b)(х^2 + сх + d)
(x^2 + ах + b)(х^2 + сх + d) = x^4 + cx^3 + dx^2 + ax^3 + acx^2 + adx + bx^2 + bcx + bd= x^4 + (a+c)x^3 + (d + ac +b)x^2 + (ad + bc)x + bd
приравниваем коэффициенты при  степенях
1=1
a+c=0
d+ac+b=1
ad+bc=-4
bd=-3
Нужны цеоые решения bd=-3 воэсожные решений (-1 3) (-3 1) (1 -3) (3 -1)
рассмотрим каждое
1. b=-1 d=3
a+c=0              a=-c             a=-c       a=1                 a=-1
d+ac+b=1        3+ac-1=1    ac=-1      c=-1                c=1
ad+bc=-4        3a-c=-4        3a-c=-4   3+1≠-4 нет     -3-1=-4 да
d=3
b=-1
ответ a=-1 b=-1 c = 1 d = 3
2/ b=-3 d=1
a+c=0              a=-c              a=-c       a=-c                
d+ac+b=1        -3+ac+1=1    ac=3      -c^2=3  нет решений            
ad+bc=-4        a-3c=-4        a-3c=-4         
d=1
b=-3
3. b=1 d=-3
a+c=0              a=-c               a=-c       a=-c                 
d+ac+b=1        -3+ac+1=1     ac=3      -c^2=3       Нет         
ad+bc=-4        -3a+c=-4        -3a+c=-4        
d=-3
b=1
4. b=3 d=-1
a+c=0              a=-c               a=-c       a=-1                  a=1        
d+ac+b=1        -1+ac+3=1     ac=-1      c=1                  c=-1    
ad+bc=-4        -a+3c=-4        -a+3c=-4   1+3÷≠-4 Нет  -1 -3=- 4 Да   
d=-1
b=3
Отвеn a=1 b=3 c=-1 d=-1
Итого два решения
ответ a=-1 b=-1 c = 1 d = 3
a=1 b=3 c=-1 d=-1