Это в основном зависит от того, чем именно красить.
В случае использования для росписи различных красок, какого-либо декорирования с использованием клея и разных элементов красить горячими просто не получится. Так как, во-первых, горячие держать в руках не особенно комфортно, а во-вторых, от температуры горячего яйца может пострадать непосредственно его декор (плохо лечь, расплыться, потечь).
Поэтому яйца обычно красят остывшими, так значительно удобнее и не нужно беспокоиться, что роспись испортится.
Отдельная ситуация, когда яйца красят луковой шелухой. В этом случае нужно, чтобы шелуха контактировала со скорлупой как можно дольше, но остывшие варёные яйца так уже не покрасить, поэтому их варят прямо с шелухой вместе.
Таким образом, можно говорить об окрашивании горячих яиц (а точнее- прямо в кипятке).
При окрашивании отваренных яиц пищевыми красителями не принципиально, будут ли они погружены в ёмкость с краской холодными, теплыми или горячими. Зависит от того, как удобно: руками брать лучше чуть остывшие, а при использовании кулинарных щипцов или ложки температура яиц вообще роли не играет. Красители хорошие и окрашивают при любой температуре.