task/29633771 11. Упростите выражение :
a) [ <u>2sinαcosβ </u> - sin(α-β) ] / [ cos(α-β) - <u>2sinαsinβ</u> ] =
[ <u>sin(α+β) +sin(α-β)</u> -sin(α-β) ] / [cos(α-β)-(<u>cos(α-β)-cos(α+β)</u> )]=sin(α+β) /cos(α+β) = tg(α+β) .
б) (1 - cosα +cos2α) / (sin2α -sinα) = (2cos²α - cosα ) / (2sinα*cosα -sinα) =
cosα(2cosα - 1 ) / sinα(2cosα -1) = ctgα .
в) (√2 cosα - 2cos(π/4 +α) ) /( 2sin(π/4 +α) -√2sinα ) =
<em /><em>(</em><em>√2 cosα - 2( cos(π/4)*cosα - sin(π/4)* sinα ) </em><em>) / </em>
<em>/ </em><em>(</em><em> 2(sin(π/4)*cosα) + cos(π/4)*sinα) - √2sinα </em><em>)</em><em> =</em>
(<u>2cosα</u>- <u>√2cosα</u> +√2sinα )/(√2cosα +<u>√2sinα</u> -<u>√</u><u>2sinα</u>)=√2sinα√2cosα=tgα .
г) ctg²α<u>(1 - cos2α</u><u>)</u> + cos²α = ctg²α*<u>2sin²</u><u>α </u> + cos²α = 2cos²α + cos²α =3cos²α.
Иначе говоря, нужно придумать прямоугольник такой формы, чтобы его площадь была равна 400 кв.м, а периметр был наименьшим.
Ответ: это квадрат со стороной 20 м.
Докажем это так. Нам нужно построить функцию периметр от сторон
S = a*b; b = S/a
P = 2(a+b) = 2(a + S/a) -> min
Найдем точку минимума, приравняв производную к 0.
P ' = 2(1 - S/a^2) = 0
S/a^2 = 1
a^2 = S
a = √S; b = S/a = S/√S = √S = a
Таким образом, a = b = √S = √400 = 20, то есть поле - это квадрат.
Периметр равен P = 20*4 = 80 м.
Площадь полосы деревьев равна 80*10 = 800 кв.м.
Ответ на фото в приложении
При a≥8; оригинале задаче пропущено.
![\sqrt{(\sqrt{a+4\sqrt{a-4}}-\sqrt{a-4\sqrt{a-4}})^2}=](https://tex.z-dn.net/?f=%5Csqrt%7B%28%5Csqrt%7Ba%2B4%5Csqrt%7Ba-4%7D%7D-%5Csqrt%7Ba-4%5Csqrt%7Ba-4%7D%7D%29%5E2%7D%3D)
![\sqrt{a+4\sqrt{a-4}-2\sqrt{a+4\sqrt{a-4}}\sqrt{a-4\sqrt{a-4}} +a-4\sqrt{a-4}}=](https://tex.z-dn.net/?f=%5Csqrt%7Ba%2B4%5Csqrt%7Ba-4%7D-2%5Csqrt%7Ba%2B4%5Csqrt%7Ba-4%7D%7D%5Csqrt%7Ba-4%5Csqrt%7Ba-4%7D%7D%20%2Ba-4%5Csqrt%7Ba-4%7D%7D%3D)
![\sqrt{2a-2\sqrt{a^2-16(a-4)}}=\sqrt{2a-2\sqrt{a^2-16a+64}}=\sqrt{2a-2\sqrt{(a-8)^2}}=\sqrt{2a-2(a-8)}}=\sqrt{2a-2a+16}}=\sqrt{16}=4](https://tex.z-dn.net/?f=%5Csqrt%7B2a-2%5Csqrt%7Ba%5E2-16%28a-4%29%7D%7D%3D%5Csqrt%7B2a-2%5Csqrt%7Ba%5E2-16a%2B64%7D%7D%3D%5Csqrt%7B2a-2%5Csqrt%7B%28a-8%29%5E2%7D%7D%3D%5Csqrt%7B2a-2%28a-8%29%7D%7D%3D%5Csqrt%7B2a-2a%2B16%7D%7D%3D%5Csqrt%7B16%7D%3D4)
Если нигде не напутал и не обсчитался, должно быть верно.