<em>1.</em>
<em>
![\lim\limits_{x \to -1} \frac{ x^{2} -x-2}{ x^{3} +1} =\lim\limits_{x \to -1} \frac{ (x-2)(x+1)}{ (x +1)(x^2-x+1)} =\lim\limits_{x \to -1} \frac{ x-2}{ x^2-x+1} =\frac{ -1-2}{ (-1)^2-(-1)+1}=-1](https://tex.z-dn.net/?f=%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%20-1%7D%20%5Cfrac%7B%20x%5E%7B2%7D%20-x-2%7D%7B%20x%5E%7B3%7D%20%2B1%7D%20%3D%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%20-1%7D%20%5Cfrac%7B%20%28x-2%29%28x%2B1%29%7D%7B%20%28x%20%2B1%29%28x%5E2-x%2B1%29%7D%20%3D%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%20-1%7D%20%5Cfrac%7B%20x-2%7D%7B%20x%5E2-x%2B1%7D%20%3D%5Cfrac%7B%20-1-2%7D%7B%20%28-1%29%5E2-%28-1%29%2B1%7D%3D-1)
</em>
<em>Так как изначально возникает неопределенность [0/0], то необходимо сократить дробь на общий множитель числителя и знаменателя (х+1) </em>
<em>2.</em>
<em>
![\lim\limits_{x \to \pi +0} \frac{ \sqrt{1-\cos x} }{ \sin x} =\frac{ \sqrt{1-\cos (\pi+0) } }{ \sin (\pi+0) } =\frac{ \sqrt{1-(-1) } }{ -0} =\frac{ \sqrt{2} }{ -0} =-\infty](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%20%5Cpi%20%2B0%7D%20%5Cfrac%7B%20%5Csqrt%7B1-%5Ccos%20x%7D%20%7D%7B%20%5Csin%20x%7D%20%3D%5Cfrac%7B%20%5Csqrt%7B1-%5Ccos%20%28%5Cpi%2B0%29%20%7D%20%7D%7B%20%5Csin%20%28%5Cpi%2B0%29%20%7D%20%3D%5Cfrac%7B%20%5Csqrt%7B1-%28-1%29%20%7D%20%7D%7B%20-0%7D%20%3D%5Cfrac%7B%20%5Csqrt%7B2%7D%20%20%7D%7B%20-0%7D%20%3D-%5Cinfty)
</em>
<em>Так как предел находится при приближении к числу π справа, то синус прежде чем принять значение 0 в точке π будет отрицательным и находиться в третьей четверти</em>
<em>3.</em>
<em>
![\lim\limits_{x \to \infty}( \frac{5x^2}{1- x^{2} } - 2^{ \frac{1}{x} }} )= \lim\limits_{x \to \infty} \frac{5x^2}{1- x^{2} } - \lim\limits_{x \to \infty} 2^{ \frac{1}{x} }} = \lim\limits_{x \to \infty} \cfrac{ \frac{5x^2}{x^2} }{ \frac{1}{x^2} - \frac{x^2}{x^2} } -2^{ \lim\limits_{x \to \infty} \frac{1}{x} }} = \\\ =\lim\limits_{x \to \infty} \frac{ 5 }{ \frac{1}{x^2} - 1 } -2^0 =\frac{ 5 }{ - 1 } -1 =-5-1=-6](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%20%5Cinfty%7D%28%20%5Cfrac%7B5x%5E2%7D%7B1-%20x%5E%7B2%7D%20%7D%20-%202%5E%7B%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%20%7D%7D%20%29%3D%20%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%20%5Cinfty%7D%20%5Cfrac%7B5x%5E2%7D%7B1-%20x%5E%7B2%7D%20%7D%20-%20%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%20%5Cinfty%7D%202%5E%7B%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%20%7D%7D%20%3D%0A%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%20%5Cinfty%7D%20%5Ccfrac%7B%20%5Cfrac%7B5x%5E2%7D%7Bx%5E2%7D%20%7D%7B%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E2%7D%20-%20%20%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Bx%5E2%7D%20%20%7D%20-2%5E%7B%20%20%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%20%5Cinfty%7D%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%20%7D%7D%20%3D%0A%5C%5C%5C%0A%3D%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%20%5Cinfty%7D%20%5Cfrac%7B%205%20%7D%7B%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E2%7D%20-%201%20%20%7D%20-2%5E0%20%3D%5Cfrac%7B%205%20%7D%7B%20-%201%20%20%7D%20-1%20%3D-5-1%3D-6)
</em>
<em>Предел разности равен разности пределов, чтобы избавиться от неопределенности [∞/∞] необходимо числитель и знаменатель разделить на старшую степень, в данном случае х²</em>
<em>4.</em>
<em>1 способ</em>
<em>
![\lim\limits_{x \to 7} \frac{2- \sqrt{x-3} }{ x^{2} -49} = -\lim\limits_{x \to 7} \frac{2- \sqrt{x-3} }{ 49-x^2} = -\lim\limits_{x \to 7} \frac{2- \sqrt{x-3} }{ (7-x)(7+x)} = \\\ =-\lim\limits_{x \to 7} \frac{2- \sqrt{x-3} }{ (4-(x-3))(x+7)} = -\lim\limits_{x \to 7} \frac{2- \sqrt{x-3} }{ (2- \sqrt{x-3})(2+ \sqrt{x-3}) (x+7)} = \\\ =-\lim\limits_{x \to 7} \frac{1 }{ (2+ \sqrt{x-3}) (x+7)} = - \frac{1 }{ (2+ \sqrt{7-3}) \cdot(7+7)} = - \frac{1 }{ 4 \cdot14} =- \frac{1}{56} ](https://tex.z-dn.net/?f=%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%207%7D%20%5Cfrac%7B2-%20%5Csqrt%7Bx-3%7D%20%7D%7B%20x%5E%7B2%7D%20-49%7D%20%3D%0A-%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%207%7D%20%5Cfrac%7B2-%20%5Csqrt%7Bx-3%7D%20%7D%7B%2049-x%5E2%7D%20%3D%0A-%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%207%7D%20%5Cfrac%7B2-%20%5Csqrt%7Bx-3%7D%20%7D%7B%20%287-x%29%287%2Bx%29%7D%20%3D%0A%5C%5C%5C%0A%3D-%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%207%7D%20%5Cfrac%7B2-%20%5Csqrt%7Bx-3%7D%20%7D%7B%20%284-%28x-3%29%29%28x%2B7%29%7D%20%3D%0A-%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%207%7D%20%5Cfrac%7B2-%20%5Csqrt%7Bx-3%7D%20%7D%7B%20%282-%20%5Csqrt%7Bx-3%7D%29%282%2B%20%5Csqrt%7Bx-3%7D%29%20%28x%2B7%29%7D%20%3D%0A%5C%5C%5C%0A%3D-%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%207%7D%20%5Cfrac%7B1%20%7D%7B%20%282%2B%20%5Csqrt%7Bx-3%7D%29%20%28x%2B7%29%7D%20%3D%0A-%20%5Cfrac%7B1%20%7D%7B%20%282%2B%20%5Csqrt%7B7-3%7D%29%20%5Ccdot%287%2B7%29%7D%20%3D%0A-%20%5Cfrac%7B1%20%7D%7B%204%20%5Ccdot14%7D%20%3D-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B56%7D%20%0A)
</em>
<em>2 способ</em>
<em>
![\lim\limits_{x \to 7} \frac{2- \sqrt{x-3} }{ x^{2} -49} = \lim\limits_{x \to 7} \frac{(2- \sqrt{x-3})' }{( x^{2} -49)'} = \lim\limits_{x \to 7} \frac{0- \frac{1}{2\sqrt{x-3}} }{2x} = \\\ =-\lim\limits_{x \to 7} \frac{1 }{4x\sqrt{x-3}} =-\frac{1 }{4\cdot7\sqrt{7-3}} =- \frac{1}{56}](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%207%7D%20%5Cfrac%7B2-%20%5Csqrt%7Bx-3%7D%20%7D%7B%20x%5E%7B2%7D%20-49%7D%20%3D%0A%20%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%207%7D%20%5Cfrac%7B%282-%20%5Csqrt%7Bx-3%7D%29%27%20%7D%7B%28%20x%5E%7B2%7D%20-49%29%27%7D%20%3D%0A%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%207%7D%20%5Cfrac%7B0-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Csqrt%7Bx-3%7D%7D%20%20%7D%7B2x%7D%20%3D%0A%5C%5C%5C%0A%3D-%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%207%7D%20%5Cfrac%7B1%20%20%7D%7B4x%5Csqrt%7Bx-3%7D%7D%20%3D-%5Cfrac%7B1%20%20%7D%7B4%5Ccdot7%5Csqrt%7B7-3%7D%7D%20%3D-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B56%7D%20)
</em>
<em>Правило Лопиталя: предел отношения двух функция равен пределу отношения производных этих функций</em>