![ax^2-(a^2+5)x+3a-5=0 ](https://tex.z-dn.net/?f=ax%5E2-%28a%5E2%2B5%29x%2B3a-5%3D0%0A)
<span>Если у данного уравнения существуют два различных натуральных корня X1 и X2 , то их сумма и произведение - тоже натуральные числа. тогда по теореме Виета:
</span>
![x_{1} *x_{2} = \frac{3a-5}{a} \\](https://tex.z-dn.net/?f=x_%7B1%7D+%2Ax_%7B2%7D+%3D++%5Cfrac%7B3a-5%7D%7Ba%7D++%5C%5C)
![\frac{3a-5}{a} = n_{1}](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7B3a-5%7D%7Ba%7D+%3D++n_%7B1%7D+)
, где n1 - нат. число. Тогда
![3a-5 = n_{1}*a \\](https://tex.z-dn.net/?f=3a-5+%3D+n_%7B1%7D%2Aa+%5C%5C+)
Правая часть данного равенства делится на a, значит и левая должна тоже делиться на a. Слева имеем сумму двух слагаемых, чтобы это сумма делилась на a, надо чтобы оба слагаемых делились на a.
3a делится на а, и 5 должно делиться на а. Т.о. а∈{ -5, -1, 1, 5}.
<span>Подставляем поочередно эти значения а в выражение </span>
![\frac{3a-5}{a}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B3a-5%7D%7Ba%7D)
<span> .</span>
![a=-5, \frac{3*(-5)-5}{-5}= \frac{-20}{-5}= 4 \\ a=-1, \frac{3*(-1)-5}{-1}= \frac{-8}{-1}= 8 \\ a=1, \frac{3*1-5}{1}= \frac{-2}{1}= -2 \\ a=5, \frac{3*5-5}{5}= \frac{10}{5}= 2 \\](https://tex.z-dn.net/?f=a%3D-5%2C++%5Cfrac%7B3%2A%28-5%29-5%7D%7B-5%7D%3D+%5Cfrac%7B-20%7D%7B-5%7D%3D+4+%5C%5C+%0Aa%3D-1%2C++%5Cfrac%7B3%2A%28-1%29-5%7D%7B-1%7D%3D+%5Cfrac%7B-8%7D%7B-1%7D%3D+8+%5C%5C+%0Aa%3D1%2C++%5Cfrac%7B3%2A1-5%7D%7B1%7D%3D+%5Cfrac%7B-2%7D%7B1%7D%3D+-2+%5C%5C+%0Aa%3D5%2C++%5Cfrac%7B3%2A5-5%7D%7B5%7D%3D+%5Cfrac%7B10%7D%7B5%7D%3D+2+%5C%5C+)
Т.о. натуральное значение выражение принимает при а=-5, а=-1 и <span>а=5.
</span>По т.Виета
![x_{1} + x_{2} = \frac{a^2+5}{a} \\](https://tex.z-dn.net/?f=x_%7B1%7D+%2B+x_%7B2%7D+%3D+%5Cfrac%7Ba%5E2%2B5%7D%7Ba%7D+%5C%5C+)
Проверим при каких из этих значений сумма корней исходного уравнения будет натуральным числом:
![a=-5; \frac{(-5)^2+5}{-5} = \frac{30}{-5} = -6 \\ a=-1; \frac{(-1)^2+5}{-1} = \frac{6}{-1} = -6 \\ a=5; \frac{5^2+5}{5} = \frac{30}{5} = 6 \\](https://tex.z-dn.net/?f=a%3D-5%3B++%5Cfrac%7B%28-5%29%5E2%2B5%7D%7B-5%7D+%3D++%5Cfrac%7B30%7D%7B-5%7D+%3D+-6+%5C%5C+%0Aa%3D-1%3B++%5Cfrac%7B%28-1%29%5E2%2B5%7D%7B-1%7D+%3D++%5Cfrac%7B6%7D%7B-1%7D+%3D+-6+%5C%5C+%0Aa%3D5%3B++%5Cfrac%7B5%5E2%2B5%7D%7B5%7D+%3D++%5Cfrac%7B30%7D%7B5%7D+%3D+6+%5C%5C+)
Итак, уравнение <span>может иметь два различных натуральных корня</span> только при a=5. Проверим будут ли этом значении а корни исходного уравнения натуральными числами.
При <span>a=5. уравнение примет вид:
</span>
![5 x^{2} - 30x +10 =0 \\ x^{2} - 6x +2 =0 \\ D = 28 ](https://tex.z-dn.net/?f=5+x%5E%7B2%7D+-+30x+%2B10+%3D0+%5C%5C+%0A+x%5E%7B2%7D+-+6x+%2B2+%3D0+%5C%5C%0AD+%3D+28%0A+)
значит корни будут иррациональными.
Ответ: ∅.