График и точки предоставил ниже.
Вторая картинка длинная, поэтому внимательно смотрите. Там ниже ещё точки есть. (кончается на 10 ; 80)
(x^2+y^2)^2010=(xy)^n
при х и у = 1 , наше уравнение очевидно не справедливо ,
x^2+y^2=(x+y)^2-2xy
видно что x^2+y^2>2xy .но только при x=y => x^2+y^2>=2xy
соответственно если мы возведем левую часть в 2010 степень она будет больше правой, при х не = у
(x^2+y^2)^2010>=(2xy)^2010 , следовательно n>=2010. при х не = у
То есть мы по сути должны для начало решить в целом наше уравнение , показать при каких значениях существует решение!
так как мы сказали раннее что n>=2010, то при n=2010,
(x^2+y^2)^2010=(xy)^2010
x^2+y^2=xy
(x+y)^2-2xy=xy
(x+y)^2=3xy
слева число будет точным квадратом какого то числа , а справа чтобы был квадратом нужно чтобы xy=3, иначе квадрат не получиться, что противоречит выражению стоящему слева!
Следовательно n>2010
Пусть х=y . тогда
(x^2+y^2)^2010=(xy)^n
(2x^2)^2010 =x^(2n)
2^2010*x^4020=x^2n
2^2010=x^(2n-4020)
Так как слева стоит четное числа и как видно в геом прогрессий с знаменателем 2; то справа значит будет тоже четное и х=2^k, где к=1,2,4,8,16,,,
Так как пусть x числа четное 10,12,14 ,,, но не степень двойки тогда она должна делиться на числа 2,4,8,16,32,,, !
2^2010=x^(2n-4020)
2^2010=2^(2n-4020)
n=3015, но наибольшее ли оно , так как
1005=k(n-2010)
то "k" отудого делитель 1005 но так как "k" четное и степень 2 , то это невозможно ,следовательно это оно может равняться только 1!
Значит это будет и наибольшим !
Попробуем при тех же самых х=у найти минимальное! то есть я не уверен и уверен что есть
(x^2+y^2)^2010=(xy)^n
2^2010=x^(2n-4020)
так как было сказано что x=2.4.8.16
1005= k(n-2010)
очевидно решение при n=2011. k=1 так как k>0
отудого x^2=2^2010 => x=2^1005.
Теперь рассмотрим при х>y
(x^2+y^2)^2010=(xy)^n
но так как
x^2+y^2 > 2xy
то есть при разных х , у оно не имеет решений!
P.S в таких задачах главное преобразовать уравнение в более простое, проверить решения при х=у, х>y. Что то заметить и так далее!
№1.
yn=n²-4n
y₆=6²-4*6=36-24=12
Ответ: y₆=12
№2.
x₁= -3; d=5
; x₅-?
x₅=x₁+4d
x₅= -3+4*5=-3+20=17
Ответ: x₅ = 17
№3.
y₃=10; y₇=-6
; y₅-?
y₇=y₁+6d
y₃=y₁+2d
Вычтем и получим:
y₇-y₃=6d-2d
4d = y₇-y₃=
4d= -6-10
4d= -16
d= -16:4
d= -4
Ответ: d= -4
№4.
x₁=3; x₄₀=57
; S₄₀-?
Sn=(x₁+x₄₀)*n/2
S₄₀=(3+57)*40/2=60*40/2=1200
Ответ: S₄₀ = 1200
№5.
a₄=26; a₈=68; a₂₁-?
1)
a₈=a₁+7d
a₄=a₁+3d
Вычтем и получим:
a₈-a₄=7d-3d
4d=68-26
4d=42
d=42:4
d=10,5
2) a₄=a₁+3d => a₁=a₄-3d
a₁ = 26-3*10,5= -5,5
3) a₂₁=a₁+20d
a₂₁= -5,5+20*10,5 = 204,5
Ответ: a₂₁ = 204,5
№6.
6; 4,8; 3,6; …
d=4,8-6= -1,2
a₁=6; d= -1,2
an=a₁+(n-1)d
Решаем неравенство an>0
a₁+(n-1)d > 0
6+(n-1)*(-1,2) >0
-1,2(n-1) >-6
-1,2(n-1) : (1,2) < -6 : (1,2)
n-1 < 5
n-1+1 < 5+1
n < 6
Ответ: положительных 5 членов
