1/6 совместная производительность двух рабочих в день
х производительность второго рабочего в день
1,2х производительность первого рабочего в день
1,2х+х=1/6
2,2х=1/6
х=1/6:2,2
х=5/66 производительность второго рабочего в день
66:5=13,2дня
за 13,2 дня выполнит второй рабочий всю работу.
1)
а) разобьём выражение под знаком логарифма 5 - 2x = 1 + (4 - 2x)
б) знаменатель увеличим в два раза 2*(2 - х) = 4 - 2х, одновременно увеличим в 2 раза числитель
в) выражение привели к одному из следствий второго замечательного предела
![\lim_{x \to \inft2} \frac{ln(5-2x)}{2-x} =\lim_{x \to \inft2} \frac{ln(1+(4-2x))}{2-x} =\lim_{x \to \inft2} 2*\frac{ln(1+(4-2x))}{4-2x} = \\ \\ =2* \lim_{x \to \inft2} \frac{ln(1+(4-2x))}{4-2x} =2*1](https://tex.z-dn.net/?f=%5Clim_%7Bx+%5Cto+%5Cinft2%7D+%5Cfrac%7Bln%285-2x%29%7D%7B2-x%7D+%3D%5Clim_%7Bx+%5Cto+%5Cinft2%7D+%5Cfrac%7Bln%281%2B%284-2x%29%29%7D%7B2-x%7D+%3D%5Clim_%7Bx+%5Cto+%5Cinft2%7D+2%2A%5Cfrac%7Bln%281%2B%284-2x%29%29%7D%7B4-2x%7D+%3D++%5C%5C+%5C%5C+%3D2%2A+%5Clim_%7Bx+%5Cto+%5Cinft2%7D+%5Cfrac%7Bln%281%2B%284-2x%29%29%7D%7B4-2x%7D+%3D2%2A1)
2.
а) представим 2 - cos3x = 1 + (1 - cos3x)
б) показатель умножим и разделим на (1 - cos3x)
в) получившийся показатель разобьём на два множителя:
![\frac{1}{1-cos3x} * \frac{1-cos3x}{ln(1+ x^{2} )}](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7B1%7D%7B1-cos3x%7D+%2A++%5Cfrac%7B1-cos3x%7D%7Bln%281%2B+x%5E%7B2%7D+%29%7D+)
г) в квадратных скобках имеем второй замечательный предел
д) используя формулу косинуса двойного угла, выразим cos3x через синус от х/2 в квадрате:
![cos3x=1-2sin^{2} \frac{x}{2} \\ 1-cos3x=2sin^{2} \frac{x}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=cos3x%3D1-2sin%5E%7B2%7D+%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D++%5C%5C+1-cos3x%3D2sin%5E%7B2%7D+%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D+)
е) числитель и знаменатель делим на х²
ж) привели к следствию из второго замечательного предела, где натуральный логарифм, затем привели к первому замечательному пределу, где синус
![\lim_{x \to \infty} (2-cos3x)^{ \frac{1}{ln(1+ x^{2} )} }=\lim_{x \to \infty} (1+(1-cos3x))^{ \frac{1}{ln(1+ x^{2} )} }= \\ \\ =\lim_{x \to \infty} [(1+(1-cos3x))^{\frac{1}{1-cos3x}} ]^{ \frac{1-cos3x}{ln(1+ x^{2} )} }= \\ \\ =\lim_{x \to \infty} [(1+(1-cos3x))^{\frac{1}{1-cos3x}} ]^{\lim_{x \to \infty} \frac{1-cos3x }{ln(1+ x^{2} )} }= \\ \\ e^{^{\lim_{x \to \infty} \frac{1-cos3x}{ln(1+ x^{2} )} }} =](https://tex.z-dn.net/?f=%5Clim_%7Bx+%5Cto+%5Cinfty%7D+%282-cos3x%29%5E%7B+%5Cfrac%7B1%7D%7Bln%281%2B+x%5E%7B2%7D+%29%7D+%7D%3D%5Clim_%7Bx+%5Cto+%5Cinfty%7D+%281%2B%281-cos3x%29%29%5E%7B+%5Cfrac%7B1%7D%7Bln%281%2B+x%5E%7B2%7D+%29%7D+%7D%3D+%5C%5C++%5C%5C+%3D%5Clim_%7Bx+%5Cto+%5Cinfty%7D+%5B%281%2B%281-cos3x%29%29%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B1-cos3x%7D%7D++%5D%5E%7B+%5Cfrac%7B1-cos3x%7D%7Bln%281%2B+x%5E%7B2%7D+%29%7D+%7D%3D+%5C%5C++%5C%5C+%3D%5Clim_%7Bx+%5Cto+%5Cinfty%7D+%5B%281%2B%281-cos3x%29%29%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B1-cos3x%7D%7D+%5D%5E%7B%5Clim_%7Bx+%5Cto+%5Cinfty%7D++%5Cfrac%7B1-cos3x++%7D%7Bln%281%2B+x%5E%7B2%7D+%29%7D+%7D%3D+%5C%5C++%5C%5C++e%5E%7B%5E%7B%5Clim_%7Bx+%5Cto+%5Cinfty%7D++%5Cfrac%7B1-cos3x%7D%7Bln%281%2B+x%5E%7B2%7D+%29%7D+%7D%7D+%3D)
![=e^{^{\lim_{x \to \infty} \frac{ \frac{2sin^{2} \frac{x}{2}}{ x^{2} } }{ \frac{ln(1+ x^{2})}{ x^{2} } }} = e^{^{\lim_{x \to \infty} \frac{ \frac{2sin^{2} \frac{x}{2}}{ x^{2} } }{1 }}} = e^{^{\lim_{x \to \infty} \frac{2* \frac{9}{4} sin^{2} \frac{x}{2}}{ ( \frac{3}{2} x)^{2} } }} = e^{ \frac{9}{2} }](https://tex.z-dn.net/?f=%3De%5E%7B%5E%7B%5Clim_%7Bx+%5Cto+%5Cinfty%7D++%5Cfrac%7B++%5Cfrac%7B2sin%5E%7B2%7D+%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D%7D%7B+x%5E%7B2%7D+%7D++%7D%7B++%5Cfrac%7Bln%281%2B+x%5E%7B2%7D%29%7D%7B++x%5E%7B2%7D++%7D++%7D%7D+%3D++e%5E%7B%5E%7B%5Clim_%7Bx+%5Cto+%5Cinfty%7D++%5Cfrac%7B++%5Cfrac%7B2sin%5E%7B2%7D+%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D%7D%7B+x%5E%7B2%7D+%7D++%7D%7B1+%7D%7D%7D+%3D+e%5E%7B%5E%7B%5Clim_%7Bx+%5Cto+%5Cinfty%7D+++%5Cfrac%7B2%2A+%5Cfrac%7B9%7D%7B4%7D+sin%5E%7B2%7D+%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D%7D%7B+%28+%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D+x%29%5E%7B2%7D+%7D+%7D%7D+%3D+e%5E%7B+%5Cfrac%7B9%7D%7B2%7D+%7D)