Question

Вычислить определенный интеграл с точностью до двух знаков после запятой.​

Answer 1

Пусть
$t = 1 + \sqrt{2x + 1} \\ t - 1 = \sqrt{2x + 1}$
Из последнего равенства заключаем, что
$t - 1 \geqslant 0 \\ t \geqslant 1$
Находим новые пределы интегрирования:
если х=0, то t=2; если х=4, то t=4.
Найдем dx:
${(t - 1)}^{2} = 2x + 1 \\ 2(t - 1)dt = 2dx \\ (t - 1)dt = dx$

Делаем замену в определенном интеграла, используя указанную замену :
$\int _ {0}^{4} \frac{dx}{1 + \sqrt{2x + 1} } = \\ = \int _ {2}^{4} \frac{t - 1}{t} dt = \\ = \int _ {2}^{4}(1 - \frac{1}{t} )dt = \\ = (t - \ln{t})| _ {2}^{4} = \\ = 4 - \ln4 - 2 + \ln2 = \\ = 2 - \ln2$
Последняя разность приближенно равна 1,31 (чтобы это показать, надо вычислить ln2. Это можно сделать либо с помощью калькулятора, либо с помощью специальных таблиц).