Question

Найти значение выражения

Answer 1

Преобразуем выражения:

$\log_{12} 18=\dfrac{\log_2 18}{\log_2 12}=\dfrac{\log_2 (2\cdot3^2)}{\log_2 (2^2\cdot3)}=\dfrac{\log_2 2+\log_23^2}{\log_22^2+\log_23} = \\\ =\dfrac{\log_2 2+2\log_23}{2\log_22+\log_23} = \dfrac{1+2\log_23}{2+\log_23} = \dfrac{1+2a}{2+a}$

$\log_{ \sqrt{12} } 18 = \log_{ 12^{0.5} } 18 = \frac{1}{0.5} \log_{ 12} 18 = 2 \log_{ 12} 18=2\cdot\dfrac{ 2a+1}{ a+2 }$

$\log_{24} 54 = \dfrac{\log_2 54}{\log_2 24} =\dfrac{\log_2 (2\cdot 3^3)}{\log_2 (2^3\cdot 3)} =\dfrac{\log_2 2+\log_23^3}{\log_22^3+\log_23} = \\\ =\dfrac{\log_2 2+3\log_23}{3\log_22+\log_23} =\dfrac{1+3\log_23}{3+\log_23} =\dfrac{1+3a}{3+a}$

Обозначение: $a=\log_23$

Выражение перепишется в виде:
$\log_{ \sqrt{12} } 18 \cdot \log_{24} 54 +10\cdot( \log_{12} 18-\log_{24} 54 )= \\\ = 2\cdot\dfrac{ 2a+1}{ a+2 } \cdot \dfrac{3a+1}{ a+3 } +10\cdot\left( \dfrac{ 2a+1}{ a+2 }-\dfrac{3a+1}{ a+3 } \right)= \\\ =2\cdot\dfrac{( 2a+1)(3a+1)}{ (a+2)(a+3) } +10\cdot \dfrac{ (2a+1)(a+3)-(3a+1)(a+2)}{( a+2)(a+3) } \\\ =2\cdot\dfrac{6a^2+2a+3a+1}{ (a+2)(a+3) } +10\cdot \dfrac{2a^2+a+6a+3-3a^2-6a-a-2}{( a+2)(a+3) } \\\ =2\cdot\dfrac{6a^2+5a+1}{ (a+2)(a+3) } +10\cdot \dfrac{-a^2+1}{( a+2)(a+3) }=$
$=\dfrac{12a^2+10a+2}{ (a+2)(a+3) } + \dfrac{-10a^2+10}{( a+2)(a+3) }=\dfrac{12a^2+10a+2-10a^2+10}{ (a+2)(a+3)} = \\\ =\dfrac{2a^2+10a+12}{ a^2+2a+3a+6 } =\dfrac{2(a^2+5a+6)}{ a^2+5a+6 } =2$