1) x=1-2y
(1-2y)²-(1-2y)y-2y²=1
1-4y+4y²-y+2y²-2y²-1=0
4y²-5y=0
y(4y-5)=0
y1=0 4y=5
y2=1,25
x1=1 x2=-1,5
Ответ: (1;0);(-1,5;1,25)
2)
Здесь никак не получится 54t^4, так как
(3t)^4=3^4*t^4=81t^4.
Ответ: 81t^4.
![2y'=\dfrac{y^2}{x^2}+6\cdot\dfrac{y}{x}+3](https://tex.z-dn.net/?f=2y%27%3D%5Cdfrac%7By%5E2%7D%7Bx%5E2%7D%2B6%5Ccdot%5Cdfrac%7By%7D%7Bx%7D%2B3)
Это дифференциальное уравнение является однородным. Воспользуемся заменой
, тогда дифференцируя обе части, имеем
. Подставляем в исходное уравнение
![2(u'x+u)=\dfrac{u^2x^2}{x^2}+6\cdot\dfrac{ux}{x}+3\\ \\ 2u'x+2u=u^2+6u+3\\ \\ 2u'x=u^2+4u+3](https://tex.z-dn.net/?f=2%28u%27x%2Bu%29%3D%5Cdfrac%7Bu%5E2x%5E2%7D%7Bx%5E2%7D%2B6%5Ccdot%5Cdfrac%7Bux%7D%7Bx%7D%2B3%5C%5C%20%5C%5C%202u%27x%2B2u%3Du%5E2%2B6u%2B3%5C%5C%20%5C%5C%202u%27x%3Du%5E2%2B4u%2B3)
Получили уравнение с разделяющимися переменными
![2\displaystyle \int\dfrac{du}{u^2+4u+3}=\int\dfrac{dx}{x}~~~\Rightarrow~~~2\int\dfrac{d(u+2)}{(u+2)^2-1}=\int\dfrac{dx}{x}\\ \\ 2\cdot\dfrac{1}{2\cdot1}\ln\bigg|\dfrac{u+2-1}{u+2+1}\bigg|=\ln|x|+\ln C\\ \\ \\ \ln\bigg|\dfrac{u+1}{u+3}\bigg|=\ln\bigg|\dfrac{C}{x}\bigg|~~~\Rightarrow~~~ \dfrac{u+1}{u+3}=\dfrac{C}{x}](https://tex.z-dn.net/?f=2%5Cdisplaystyle%20%5Cint%5Cdfrac%7Bdu%7D%7Bu%5E2%2B4u%2B3%7D%3D%5Cint%5Cdfrac%7Bdx%7D%7Bx%7D~~~%5CRightarrow~~~2%5Cint%5Cdfrac%7Bd%28u%2B2%29%7D%7B%28u%2B2%29%5E2-1%7D%3D%5Cint%5Cdfrac%7Bdx%7D%7Bx%7D%5C%5C%20%5C%5C%202%5Ccdot%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%5Ccdot1%7D%5Cln%5Cbigg%7C%5Cdfrac%7Bu%2B2-1%7D%7Bu%2B2%2B1%7D%5Cbigg%7C%3D%5Cln%7Cx%7C%2B%5Cln%20C%5C%5C%20%5C%5C%20%5C%5C%20%5Cln%5Cbigg%7C%5Cdfrac%7Bu%2B1%7D%7Bu%2B3%7D%5Cbigg%7C%3D%5Cln%5Cbigg%7C%5Cdfrac%7BC%7D%7Bx%7D%5Cbigg%7C~~~%5CRightarrow~~~%20%5Cdfrac%7Bu%2B1%7D%7Bu%2B3%7D%3D%5Cdfrac%7BC%7D%7Bx%7D)
Сделаем обратную замену: u = y/x, получим
![\dfrac{\frac{y}{x}+1}{\frac{y}{x}+3}=\dfrac{C}{x}~~~\Rightarrow~~~\boxed{\dfrac{y+x}{y+3x}=\dfrac{C}{x}}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdfrac%7B%5Cfrac%7By%7D%7Bx%7D%2B1%7D%7B%5Cfrac%7By%7D%7Bx%7D%2B3%7D%3D%5Cdfrac%7BC%7D%7Bx%7D~~~%5CRightarrow~~~%5Cboxed%7B%5Cdfrac%7By%2Bx%7D%7By%2B3x%7D%3D%5Cdfrac%7BC%7D%7Bx%7D%7D)
Получили общий интеграл.
9^x-6*3^x-27=0
(3²)^x-6*3^x-27=0
(3^x)²-6*3^x-27=0
замена переменных: 3^x=t, t>0
t²-6t-27=0. D=144
t₁=-3, t₂=9
обратная замена:
t₁=-3 посторонний корень, т.к. -3<0
t₂=9. 3^x=9 3^x=3²
x=2
26 - 16 = 10 раз прибавляли шаг
-7 + 10х = 55
10х = 62
х = 6.2 - шаг
а1 + 15*6.2 = -7
откуда легко посчитать а1