Question

Найдите количество целочисленных решений (x;y;z) уравнения 60^x*(500/3)^y*360^z=36000 удовлетворяющих условию |x+y+z|<87

Answer 1

$60^x\cdot\bigg( \dfrac{500}{3}\bigg)^y\cdot 360^z=2^{2x+2y+3z}\cdot 5^{x+3y+z}\cdot3^{x-y+2z}$

$36000=2^5\cdot5^3\cdot3^2$

Составим систему $\begin{cases} \text{ } 2x+2y+3z=5 \\ \text{ } x+3y+z=3 \\ \text{ } x-y+2z=2 \end{cases}~~~\Rightarrow~~~~\begin{cases}\text{ } x=-7y+4 \\ \text{ } y=~~\forall~~ chisla \\ \text{ } z=4y-1\end{cases}$

Система имеет бесконечно много решений и найдем те решения которые удовлетворяют условию

$|-7y+4+y+4y-1|\ \textless \ 87\\ \\ |-2y+3|\ \textless \ 87\\ \\ -87\ \textless \ -2y+3\ \textless \ 87\\ \\ -90\ \textless \ -2y\ \textless \ 84\\ \\ -42\ \textless \ y\ \textless \ 45$

То есть, всего 86 целочисленных решений удовлетворяющему условию