Найдем сначала общее решение соответствующего однородного уравнения
Это дифференциальное уравнение является уравнение с разделяющимися переменными.
![\dfrac{dy}{y} =-tg x dx ;~~\Rightarrow~~ \displaystyle \int \dfrac{dy}{y} = \dfrac{d(\cos x)}{\cos x} \\ \\ \ln|y|=\ln |\cos x|+\ln C\\ \\ y= C\cos x](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cdfrac%7Bdy%7D%7By%7D+%3D-tg+x+dx+%3B~~%5CRightarrow~~+%5Cdisplaystyle+%5Cint+%5Cdfrac%7Bdy%7D%7By%7D+%3D+%5Cdfrac%7Bd%28%5Ccos+x%29%7D%7B%5Ccos+x%7D+%5C%5C+%5C%5C+%5Cln%7Cy%7C%3D%5Cln+%7C%5Ccos+x%7C%2B%5Cln+C%5C%5C+%5C%5C+y%3D+C%5Ccos+x)
Примем теперь константу за функцию, то есть
![C=C(x)](https://tex.z-dn.net/?f=C%3DC%28x%29)
![y=C(x)\cos x](https://tex.z-dn.net/?f=y%3DC%28x%29%5Ccos+x)
Дифференцируем обе части по переменной х.
![y'=C'(x)\cos x-C(x)\sin x](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%3DC%27%28x%29%5Ccos+x-C%28x%29%5Csin+x)
Подставляем эти данные в исходное уравнение, получим
![\displaystyle C'(x)\cos x-C(x)\sin x+C(x)\cos x\cdot tg x= \frac{1}{\cos x} \\ \\ C'(x)\cos x-C(x)\sin x+C(x)\sin x=\frac{1}{\cos x}\\ \\ C'(x)=\frac{1}{\cos^2 x}~~\Rightarrow~~ C(x)=\int \frac{dx}{\cos x}=tg x+C_1](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle+C%27%28x%29%5Ccos+x-C%28x%29%5Csin+x%2BC%28x%29%5Ccos+x%5Ccdot+tg+x%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Ccos+x%7D+%5C%5C+%5C%5C+C%27%28x%29%5Ccos+x-C%28x%29%5Csin+x%2BC%28x%29%5Csin+x%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Ccos+x%7D%5C%5C+%5C%5C+C%27%28x%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Ccos%5E2+x%7D~~%5CRightarrow~~+C%28x%29%3D%5Cint+%5Cfrac%7Bdx%7D%7B%5Ccos+x%7D%3Dtg+x%2BC_1)
Тогда общее решение линейного неоднородного уравнения:
![y=(tgx+C_1)\cos x=\sin x+C_1\cos x](https://tex.z-dn.net/?f=y%3D%28tgx%2BC_1%29%5Ccos+x%3D%5Csin+x%2BC_1%5Ccos+x)
Осталось найти частное решение, подставив начальные условия:
![1=\sin \pi +C_1\cos \pi \\ 1=-C_1\\ C_1=-1](https://tex.z-dn.net/?f=1%3D%5Csin++%5Cpi+%2BC_1%5Ccos+%5Cpi+%5C%5C+1%3D-C_1%5C%5C+C_1%3D-1)
![\boxed{y=\sin x-\cos x}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cboxed%7By%3D%5Csin+x-%5Ccos+x%7D+)
- частное решение
P.S. уравнение решено методом Лагранжа.