Question

Докажите,что градусные меры дуг окружности,заключенных между параллельными хордами,равны

Answer 1

Способ 1)- наиболее подробный

Соединим центр О с А, В, С, Д.

∆ АОВ и ∆ СОД - равнобедренные ( боковые стороны - радиусы). 

Проведем из  О высоту ∆ АОВ, точку пересечения  с АВ обозначим М, с СД - Н. 

Отрезок ОМ ⊥СД - как секущая, образующая равные накрестлежащие (  и соответственные) углы при пересечении параллельных прямых.

 В равнобедренном треугольнике высота является медианой и биссектрисой. ⇒

АМ=ВМ; СН=ДН.

∠МОД=∠МОС; ∠АОМ=∠ВОМ⇒

∠МОД -∠АОМ= ∠АОД

∠МОС - ∠ВОМ=∠ВОС

Если из равных величин вычесть по равной величине, оставшиеся части - равны. ⇒

∠АОД =∠ВОС - эти углы - центральные. 

Равные центральные углы опираются на равные дуги. ⇒

◡АД=◡СД, что и требовалось доказать. 

Способ 2)

Соединим А и Д, В и С. 

Четырехугольник АВСД имеет две параллельные стороны, ⇒ является трапецией. 

В окружность можно вписать только равнобедренную трапецию. 

Следовательно. хорды АД и ВС равны.

Равные хорды стягивают равные дуги. ◡АД=◡СД, ч.т.д.

Способ 3) как дополнение к способу 2)

Т.к. в равнобедренной трапеции диагонали равны, они при пересечении образуют два равнобедренных подобных треугольника, и тогда  углы  АСД и ВДС равны, а равные вписанные углы опираются на равные дуги. ⇒

◡АД=◡СД, ч.т.д.