Question

Известо, что число abcde кратно 41. Докажите, что eabcd кратно 41.

Answer 1

Если пятизначное число кратно 41, значит их отношение равняется какому-то целому числу k:

$\frac{\overline{abcde}}{41} =k, \ k \in Z \ \Rightarrow \overline{abcde}=41k$

пятизначное число распишем как:
$\overline{abcde}=10000a+1000b+100c+10d+e$

Теперь преобразуем:

$10000a+1000b+100c+10d+e=10(1000a+100b+10c+d)+e = \\ \\ =10\overline{abcd}+e$

Не забываем что это все равно 41k:

$\overline{abcde}=10\overline{abcd}+e=41k \\ \\ \overline{abcd}= \frac{41k-e}{10}$

Теперь находим:

 $\overline{eabcd}=10000e+(1000a+100b+10c+d)=10000e+\overline{abcd} = \\ \\ =10000e+ \frac{41k-e}{10}= \frac{100000e+41k-e}{10}= \frac{99999e+41k}{10}= \frac{41(2439e+k)}{10}$

Так как $\overline{eabcd}$  - целое число, значит
$\frac{41(2439e+k)}{10}$ - тоже целое число

41-простое число, следовательно оно не делится на 10, это значит, что 

$\frac{2439e+k}{10}$ - целое число 

или коротко:

$\overline{eabcd}=\frac{41(2439e+k)}{10}, \\ \\ \overline{eabcd} \in Z, \ \Rightarrow \frac{41(2439e+k)}{10} \in Z, \ \Rightarrow \frac{2439e+k}{10} \in Z$

таким образом:

$41*\frac{2439e+k}{10}\ \vdots \ 41, \ \Rightarrow \overline{eabcd} \ \vdots \ 41$

что и требовалось доказать!