Диагонали разбивают прямоугольник на два прямоугольных треугольника с острым углом 30 градусов. В таком треугольнике стороны: короткий катет, длинный катет, гипотенуза (диагональ прямоугольника) относятся как 1:√(3):2. Проекции боковых ребер пирамиды - это половинки гипотенуз.
В условии не указано, AD=5 (нельзя обозначать строчными буквами "ad") короткая или длинная сторона прямоугольника, поэтому в задаче возможны два варианта.
Если 5 равен короткий катет , то гипотенуза равна 10, а площадь основания 5*5*√(3)=25*√(3). В прямоугольных треугольниках, образованных высотой пирамиды, боковым ребром, и проекцией бокового ребра (половинкой гипотенузы) высоту определяем по Пифагору: h=√13^2-5^2)=12. Тогда объем равен
V=(1/3)*12*25*√(3)=100*√(3).
Если 5 равен длинный катет, то короткий катет 5/√(3), гипотенуза 10/√(3), площадь основания (5/√(3))*(10/√(3))=50/3. Высота пирамиды равна
h=√(13^2- (5/√(3))^2)=√(482/3), а объем V=(1/3)*100*√(3)*√(482/3)=(100/3)√(482).
Ответ "некрасивый", наверное все же первый вариант, но в условии что-то пропущено.
См. ПЕРВЫЙ чертеж. На нем все обозначения.
q^2 = R^2 - (m/2)^2;
p^2 = r^2 - (m/2)^2;
Отсюда
(2*m)^2 + (q - p)^2 = (R + r)^2; (это просто теорема Пифагора)
4*m^2 + q^2 + p^2 - 2*q*p = R^2 + r^2 + 2*R*r;
4*m^2 + R^2 + r^2 - m^2/2 - R^2 - r^2 - 2*R*r = 2*q*p; (свожу подобные и делю на 2);
(7/4)*m^2 - R*r = q*p; (это возводится в квадрат);
(49/16)*m^4 - 2*(7/4)*m^2*R*r + R^2*r^2 = (R^2 -m^2/4)*(r^2 - m^2/4) =
= R^2*r^2 - (1/4)*m^2*(R^2 + r^2) + m^2/16; (ясно, что свободные от неизвестного m слагаемые выпадают, и степень понижается :));
3*m^2 = (7/2)*R*r - (R^2 + r^2)/4;
Собственно, это ответ. Его можно "переписывать" в каких-то иных формах, например, так
m = (√3/6)*√(16*R*r - (R + r)^2);
сути это не меняет.
<em>Почему эта задача вызвала такие моральные затруднения, я не понимаю. </em>
<em>Арифметику проверяйте! :)</em>
<em>Мне захотелось показать несколько простых ЧУДЕС, которые зарыты в этом условии. См. ВТОРОЙ рисунок, он немного отличается от первого. Семь отличий искать не надо :). Проведена общая внутренняя касательная до пересечения с прямой. Она делит средний (из трех равных) отрезок на части x и m - x; отрезок касательной t;</em>
<em>Ясно, что x*(x + m) = t^2 = (m - x)*(m - x + m);</em>
<em>откуда легко найти x = m/2; </em>
<em>то есть общая внутренняя касательная делит средний отрезок пополам.</em>
<em>Это уже НЕЧТО, но есть и дальше :) </em>
<em>r^2 + t^2 = p^2 + (x + m/2)^2 = r^2 - m^2/4 + m^2; </em>
<em>t^2 = (3/4)^m^2;
t = m*√3/2; </em>
<em>к сожалению, это не сильно помогает в поиске m :);</em>
Есть такая теорема:Катет лежащий напротив гипотинузы с углом в 30 гр. равен половине гипотенузе. => AC=3
sin60=CB/6
/2=CB/6
CB=3
Sabc=CB*CA=3
*3=6
C другой стороны: CH*CB=6
=> CH=6
/ 3
=2
Рассмотрим треуг. CBH, у которого Н=90 гр., угол В=30 гр, => С=60
sin60=HB:CB
HB=
/2 * 3
= 9/2
Вроде бы так
В треугольнике угол EBC равен 30, а гипотенуза равна 10, т.к. EC лежит на против угла в 30 градусов. По теоремы Пифагора
EB^2=EC^2 +BC^2
100=25+x^2
x^2=75
x=5* корень из 3
x=BC
в треугольнике ABC гипотенуза равна 10* корень из 3 так как BC лежит против угла в 30 градусов. По теоремы Пифагора
AB^2 =BC^2+AC^2
300=75+x^2
x=15
AC=15
!) угол АСД тоже равен 45*, треугол АСД равнобедренный,прямоуг
АД=СД=а; по т. Пиф 2 а в кв=64
а в кв = 32
данный
прямоугольник - квадрат его площадь= 32
2) АВСД - трап, АВ - бок стор ВК - высота, угол ВАС=45* ,значит
угол АВК =45*
АК = ВК, по т. Пиф 2 х в кв =50, х = 5, это высота
площадь трапеции =(12+20)умн5/2=80