Question

Числа a и b таковы, что a+b<= -4, 2a+b<= -7. Какое наименьшее значение может принимать выражение a^2-4b?

Answer 1

$\displaystyle \left \{ {{a+b \leq -4} \atop {2a+b \leq -7}} \right.$

при каких a и b 
a²-4b примет наименьшее значение

решение:

$\displaystyle \left \{ {{a+b \leq -4} \atop {2a+b \leq -7}} \right.$
из второго неравенства вычтем первое

$\displaystyle 2a+b-a-b \leq -7-(-4) a \leq -3$

тогда 
$\displaystyle -3+b \leq -4 b \leq -1$

имеем теперь систему

$\displaystyle \left \{ {{a \leq -3} \atop {b \leq -1}} \right.$

Оценим значение a²

$\displaystyle a \leq -3 a^2 \geq 9$

оценим -4b

$\displaystyle b \leq -1 4b \leq -4 -4b \geq 4$

видим что теперь у нас есть сумма a²  и (-4b) где наименьшее значение
a²=9 а наименьшее значение (-4b)=4

Значит $\displaystyle a^{2} -4b \geq 9+4 a^2-4b \geq 13$


Вывод: наименьшим значением выражения будет 13, 
при a=-3 и b=-1