Question

Угол между диагоналями основания прямоугольного параллелепипеда равен 30°. Диагональ параллелепипеда равна 12 см и образует с плоскостью основания угол 60°. Найдите объем параллелепипеда. С рисунком!

Answer 1

угол между прямой и плоскостью, это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

точка C1 проецируется в точку C => отрезок AC1 проецируется в диагональ AC.

угол CAC1=60°

Из треугольника ACC1:

$CC_1=AC_1*sin(60)=12*\frac{\sqrt3}{2}=6\sqrt{3} \\AC=AC_1*cos(60)=6$

CO=BO из свойств прямоугольника => треугольник COB равнобедренный.

2∠OBC+∠COB=180° (как углы треугольника)

∠OBC=(180-30)/2=75°

Из треугольника DCB, ∠CDB=180°-90°-75°=15°

AC=BD из свойств прямоугольника.

$CB=BD*sin(15)=6*sin(15)\\CD=BD*cos(15)=6*cos(15)$

Раскрывать синус и косинус 15 глупо, но это легко можно сделать например как sin(45-30) или sin(60-45) или sin(30/2).

$V=CC_1*CB*CD=6\sqrt{3}*6*sin(15)*6*cos(15)= 108 \sqrt{3} *(2*sin(15)*cos(15))=108\sqrt{3}*sin(30)=54\sqrt{3}$

------------------

Ответ $54\sqrt{3}$

Если что-то непонятно задай вопрос