Question

Доказать, что если стороны треугольника соответственно a, b и c, то следует неравенство:a^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ca)

Answer 1

Если x,y,z отрезки касательных на которые делит вписанная окружность стороны, то  a=x+y, b=x+z,  c=y+z

(x+y)^2+(x+z)^2+(y+z)^2<2((x+y)(x+z)+(x+z)(y+z)+(x+y)(y+z)) где x,y,z>0

Открывая скобки и преобразовывая  

xy+yz+zx>0

что верно.

Answer 2

Рассмотрим неравенство треугольника для каждой из трех его сторон:

a > |b - c|

b > |a - c|

c > |a - b|

Возведем в квадрат каждое из трех неравенств:

$a^2>b^2-2bc+c^2\\b^2>a^2-2ac+c^2\\c^2>a^2-2ab+b^2$

Сложим почленно эти неравенства:

$a^2+b^2+c^2>2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc\\\\a^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ac)$