Question

Задание №290:
Для функции $f(x)$, удовлетворяющую условию $f(2x)=5f(x^{2} )-8$ найдите разность $f(0)-2f(4)$.

Задание №294:
При каких значениях параметра $n$ точка пересечения прямых $y=2x-5n^{2} +4n$ и $y=-2x+4n^{2} -2n+3$ лежит на оси абсцисс?
А) 2 и -4
Б) 1 и -3
В) -1 и -3
Г) 1 и 3
Д) -1 и 3

П.С.: Задание номер 290 со звёздочкой. Прошу всё решить с объяснениями.

Answer 1

290.

$f(2x)=5f(x^2)-8$

Заметим, что при х=0 и при х=2 аргументы выражений $f(2x)$ и $f(x^2)$ равны между собой.

Рассмотрим функцию при х=0:

$f(2\cdot0)=5f(0^{2} )-8 \\\ f(0)=5f(0 )-8 \\\ 4f(0)=8 \\\ f(0)=2$

Аналогично рассмотрим функцию при х=2:

$f(2\cdot2)=5f(2^{2} )-8 \\\ f(4)=5f(4 )-8 \\\ 4f(4)=8 \\\ f(4)=2$

Искомая разность:

$f(0)-2f(4) =2-2\cdot2=-2$

Ответ: -2

294.

Так как точка пересечения лежит на оси абсцисс, то ее ордината равна 0. Подставим в оба уравнения значение y=0 и объединим их в систему:

$\left\{\begin{array}{l} 2x-5n^2+4n=0 \\ -2x+4n^2-2n+3=0 \end{array}$

Складываем уравнения:

$-n^2+2n+3=0 \\\ n^2-2n-3=0 \\\ (n+1)(n-3)=0 \\\ n_1=-1; \ n_2=3$

Ответ: -1 и 3

Answer 2

$290.\; \; \; f(2x)=5\cdot f(x^2)-8\\\\f(0)=f(2x)\; \; \to \; \; 2x=0\; \; \to \; \; x=0\; ,\; \; x^2=0^2=0\\\\f(0)=5\cdot f(0)-8\; \; \to \; \; \; 5\cdot f(0)-f(0)=8\; \; \to \; \; 4\cdot f(0)=8\; ,\\\\f(0)=8:4\; ,\; \; f(0)=2\\\\f(4)=f(2x)\; \; \to \; \; 2x=4\; \; \to \; \; x=2\; ,\; \; x^2=2^2=4\; ,\\\\f(4)=5\cdot f(4)-8\; \; \to \; \; 5\cdot f(4)-f(4)=8\; ,\; \; 4\cdot f(4)=8\; ,\\\\f(4)=8:4\; ,\; \; f(4)=2\\\\f(0)-2f(4)=2-2\cdot 2=2-4=-2$

$294.\; \; \; y=2x-5n^2+4n\; ,\; \; y=-2x+4n^2-2n+3\\\\tochka\; A(x_0,y_0)\in OX\; esli\; \; y_0=0\\\\2x-5n^2+4n=0\; \; \to \; \; 2x=5n^2-4n\\\\-2x+4n^2-2n+3=0\; \; \to \; \; 2x=4n^2-2n+3\\\\\Rightarrow \; \; 5n^2-4n=4n^2-2n+3\\\\5n^2-4n^2-4n+2n-3=0\\\\n^2-2n-3=0\; ,\; \; n_1=-1\; ,\; \; n_2=3\; \; (teorema\; Vieta)\\\\Otvet:\; \; n_1=-1\ ,\; n_2=3\; .$