Question

Пользуясь определением производной найти производную функции 1) y=sinx и y=x^2-5x+6 при x=π/2

Answer 1

1. По определению производная - это предел отношения приращения функции к приращению аргумента. dx - это дельта икс, я так обозначил, потому что тут ТеХ не читает такой знак Δ. Это через определение производной. Со вторым аналогично. 
$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{dx} = \lim_{x \to dx} \frac{f(x_0+dx) - f(x_0)}{dx} \lim_{dx \to 0} \frac{f(x_0+dx) - f(x_0)}{dx} = \lim_{dx \to 0} \frac{sin(x_0+dx) - sin(x_0)}{dx} \lim_{dx \to 0} \frac{2sin( \frac{x_0 + dx -x_0}{2})cos( \frac{2x_0 + dx}{2}) }{dx} \lim_{dx \to 0} \frac{2sin( \frac{x_0 + dx -x_0}{2}) }{dx} = 1 =\ \textgreater \ \lim_{dx \to 0}cos( \frac{2x_0 + dx}{2}) = cos(x_0) | x_0 = \pi /2 =\ \textgreater \ cos( \pi /2 ) = 0$

2.
$\lim_{dx \to 0} \frac{f(x_0+dx) - f(x_0)}{dx} = \lim_{dx \to 0} \frac{(x_0+dx)^2 - 5(x_0+dx) + 6 - x_0^2 +5x_0 - 6 }{dx} \lim_{dx \to 0} \frac{dx^2 + 2xdx - 5dx }{dx} = \lim_{dx \to 0} dx + 2x - 5 = 2x-5| x = \pi /2 2x - 5 = \pi -5$