Question

Упростить факториал 1/2!+2/3!+3/4!+...+2006/2007!

Answer 1

Запишем эту сумму для произвольного числа слагаемых:

$S(k)=\frac{1}{2!} +\frac{2}{3!} +\frac{3}{4!} +...+\frac{k}{(k+1)!}$

Вычислим значения S(k) для нескольких значений k:

$S(1)=\frac{1}{2!} =\frac{1}{2}= \frac{2!-1}{2!} \\S(2)=\frac{1}{2} +\frac{2}{3!} =\frac{5}{6}=\frac{3!-1}{3!} \\S(3)=\frac{5}{6}+\frac{3}{4!}=\frac{23}{24} =\frac{4!-1}{4!}$

Тогда можно предположить, что

$S(k)=\frac{(k+1)!-1}{(k+1)!}=1-\frac{1}{(k+1)!}$

Но это ещё надо доказать. Используем индукцию. Выше было показано, что равенство верно для первых 3 натуральных k. Докажем, что из справедливости равенства для k=n следует справедливость равенства для k=n+1, тогда равенство можно будет считать справедливым для всех натуральных k.

Итак, предположим, что справедливо равенство

$\frac{1}{2!} +\frac{2}{3!} +\frac{3}{4!} +...+\frac{n}{(n+1)!}=1-\frac{1}{(n+1)!}$

Проверим, верно ли, что

$\frac{1}{2!} +\frac{2}{3!} +\frac{3}{4!} +...+\frac{n}{(n+1)!}+\frac{n+1}{(n+2)!}=1-\frac{1}{(n+2)!}$

Подставляем сюда предыдущее выражение:

$1-\frac{1}{(n+1)!}+\frac{n+1}{(n+2)!}=1-\frac{1}{(n+2)!}\\\frac{n+2}{(n+2)!}=\frac{1}{(n+1)!}\\\frac{1}{(n+1)!}=\frac{1}{(n+1)!}$

Получили верное равенство. Теперь можно вычислить значение нашей суммы:

$S(2006)=1-\frac{1}{2007!}$