Question

Найти предел) Без Лопиталей.

Answer 1

Во первых очевидно, что

$\lim\limits_{x\to \infty}\frac{x+\sqrt{x^2+1}}{x+\sqrt{x^2-1}} =1\\\lim\limits_{x\to \infty}\frac{x+1}{x-1} =1$

Поэтому, при $x \to \infty$

$\ln(\frac{x+\sqrt{x^2+1}}{x+\sqrt{x^2-1}})=\ln(1+(\frac{x+\sqrt{x^2+1}}{x+\sqrt{x^2-1}}-1)) \sim \frac{x+\sqrt{x^2+1}}{x+\sqrt{x^2-1}}-1=\frac{\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}}{x+\sqrt{x^2-1}} \\\ln^2\frac{x+1}{x-1} =\ln^2(1+(\frac{x+1}{x-1}-1)) \sim (\frac{x+1}{x-1}-1)^2=\frac{4}{(x-1)^2}$

Перепишем исходный предел, использовав эти эквивалентности:

$=\lim\limits_{x\to \infty}\frac{(\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1})(x-1)^2}{4(x+\sqrt{x^2+1})} =\frac{1}{4} \lim\limits_{x\to \infty}\frac{x^2(\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1})}{x+\sqrt{x^2+1}}=\\ =\frac{1}{2} \lim\limits_{x\to \infty}\frac{x^2}{(x+\sqrt{x^2+1})(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1})} =\frac{1}{2} \lim\limits_{x\to \infty}\frac{x^2}{x\sqrt{x^2+1}+x^2+1+x\sqrt{x^2-1}+\sqrt{x^4-1}} =$

$=\frac{1}{2} \lim\limits_{x\to \infty}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}+1+\frac{1}{x^2}+\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}+\sqrt{1-\frac{1}{x^4}}}=\frac{1}{2} *\frac{1}{4} =\frac{1}{8}$