Question

Решите данное уравнение:

Answer 1

√(1 + cos2x) = 3/2 - sin²x
Разложим cos2x по формуле косинуса удвоенного аргумента: 
cos2x = 2cos²x - 1
√(1 + 2cos²x - 1) = 3/2 - sin²x
√2·cosx = 3/2 - sin²x= 0
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:
sin²x + cos²x = 1 ⇔ sin²x = 1 - cos²x.
√2·cosx = 3/2 - (1 - cos²x)
√2·cosx = 1/2 + cos²x
cos²x - √2·cosx + 1/2 = 0
(cosx - √2/2)² = 0
cosx - √2/2 = 0
cosx = √2/2
x = ±π/4 + 2πn, n ∈ Z

Answer 2

√(1+cos2x)=3/2-sin²x
ОДЗ
{1+cos2x≥0⇒cos2x≥-1⇒x∈R
{3/2-sin²x≥0⇒3/2≥(1-cos2x)/2⇒3≥1-cos2x⇒cos2x≥-2⇒x∈R
x∈(-∞;∞)
возведем в квадрат
(√(1+cos2x))²=[(2+cos2x)/2]²
1+cos2x=(4+4cos2x+cos²2x)/4
4+4cos2x+cos²2x-4-4cos2x=0
cos²2x=0
cos2x=0
2x=π/2+πk,k∈z
x=π/4+πk/2,k∈z