Question

Представьте в тригонометрической форме комплексные числа 3i, -1+i. 1-iкв.корень из3

Answer 1

Тригонометрической записью комплексного числа $z=a+bi$ называется запись, вида $r\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right)$, где $r=|z|=\sqrt{a^2+b^2};~\varphi=\arctan\dfrac{b}{a}$

$1)~z=0+3i \medskip \\ r=\sqrt{3^2}=3 \medskip \\ \varphi=\arctan\dfrac{3}{0}=\arctan\left(+\infty\right)=\dfrac{\pi}{2}+{\pi}k,~k\in\mathbb{Z}$

Число находится в первой четверти $\Rightarrow \varphi=\dfrac{\pi}{2} \medskip \\ z=3\left(\cos\dfrac{\pi}{2}+i\sin\dfrac{\pi}{2}\right) \medskip \\ 2)~z=-1+i \medskip \\ r=\sqrt{1+1}=\sqrt{2} \medskip \\ \varphi=\arctan\dfrac{1}{-1}=\arctan(-1)=-\dfrac{\pi}{4}+\pi k,~k\in\mathbb{Z}$

Число находится во второй четверти $\Rightarrow \varphi = \dfrac{3\pi}{4} \medskip \\ z=\sqrt{2}\left(\cos\dfrac{3\pi}{4}+i\sin\dfrac{3\pi}{4}\right)$

$3)~z=1-\sqrt{3}i \medskip \\ r=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2 \medskip \\ \varphi=\arctan\dfrac{-\sqrt{3}}{1}=-\arctan\sqrt{3}=-\dfrac{\pi}{3}+\pi k,~k\in\mathbb{Z}$

Число находится в четвертой четверти $\Rightarrow \varphi=\dfrac{5\pi}{3} \medskip \\ z=2\left(\cos\dfrac{5\pi}{3}+i\sin\dfrac{5\pi}{3}\right)$