Question

Помогите пожалуйста максимально подробно, хочу научиться: Найдите первообразную функцию для f(x)=12cos2xsin4x

Answer 1

От произведения перейдем к сумме синусов

$f(x)=12\cos2x\sin4x=12\cdot0.5(\sin(4x-2x)+\sin(4x+2x))=\\ \\ =6\sin2x+6\sin6x$

Найдем первообразную

$\displaystyle F(x)= \int\limits {(6\sin2x+6\sin6x)} \, dx =6 \int\limits {\sin2x} \, dx +6 \int\limits{\sin6x} \, dx =\\ \\ =6\cdot(-0.5\cos2x)+6\cdot\bigg(- \frac{1}{6}\cos 6x\bigg)+C=-3\cos2x-\cos6x+C$

Answer 2

Sina*cosb=1/2*sin(a-b)+1/2*sin(a+b)
12sin4x*cos2x=12*1/2*(sin(4x-2x)+sin(4x+2x))=6*(sin2x+sin6x)
f(x)=6sin2x+6sin6x
F(x)=6*(-cos2x)*1/2+6*(-cos6x)*1/6+C=-3cos2x-cos6x+C