Question

Решите неравенство (15 задание из ЕГЭ):

Answer 1

$\frac{4\cdot 5^{x}-17}{5^{x}-4}+\frac{10\cdot 5^{x}-13}{2\cdot 5^{x}-3}>\frac{8\cdot 5^{x}-30}{2\cdot 5^{x}-7}+\frac{5^{x+1}-4}{5^{x}-1}\; ,\\\\t=5^{x}>0\; ,\; \; \frac{4t-17}{t-4}+\frac{10t-13}{2t-3}>\frac{8t-30}{2t-7}+\frac{5t-4}{t-1}\; ,$

$4-\frac{1}{t-4}+5+\frac{2}{2t-3}>4-\frac{2}{2t-7}+5+\frac{1}{t-1}\\\\\frac{2}{2t-3}-\frac{1}{t-4}>\frac{1}{t-1}-\frac{2}{2t-7}\\\\\frac{2t-8-2t+3}{(2t-3)(t-4)}>\frac{2t-7-2t+2}{(t-1)(2t-7)}\\\\\frac{-5}{(2t-3)(t-4)}>\frac{-5}{(t-1)(2t-7)}\; |:(-5)\\\\\frac{1}{(2t-3)(t-4)}<\frac{1}{(t-1)(2t-7)}\\\\\frac{(t-1)(2t-7)-(2t-3)(t-4)}{(2t-3)(t-4)(t-1)(2t-7)}<0\\\\\frac{2t^2-9t+7-(2t^2-11t+12)}{(2t-3)(t-4)(t-1)(2t-7)}<0\\\\\frac{2t-5}{(2t-3)(t-4)(t-1)(2t-7)}<0\\\\2t-5=0\; ,\; t_1=2,5\; \; ;\; \; \; 2t-3=0\; ,\; t_2=1,5\; \; ;\; \; t-4=0\; ,\; t_3=4\; ;$

$t-1=0\; ,\; t_4=1\; \; ;\; \; 2t-7=0\; ,\; t_5=3,5\; \; ;\; \; t>0\\\\(0)---(1)+++(1,5)---(2,5)+++(3,5)---(4)+++\\\\t\in (0;1)\cup (1,5\, ;\, 2,5)\cup (3,5\, ;4)\\\\a)\; \; 0<5^{x}<1\; \; \; \to \; \; x<0\\\\b)\; \; 1,5<5^{x}<2,5\; \; \to \; \; log_51,5<x<log_52,5\\\\c)\; \; 3,5<5^{x}<4\; \; \to \; \; log_53,5<x<log_54\\\\Otvet:\; \; x\in (-\infty ;0)\cup (log_51,5\, ;\, \, log_52,5)\cup(log_53,5\, ;log_54)\. .$

Answer 2

task/29447446                                                                                                                 --------------------

Решить неравенство

(4*5ˣ -17) / (5ˣ - 4)+ (10*5ˣ -13)/(2*5ˣ -3) < (8*5ˣ -30) /(2*5ˣ -7)+ (5ˣ⁺¹ -4)/(5ˣ - 1)

Решение : заменa t =5ˣ ; после выделения целой части каждой дроби данное неравенство можно переписать в виде :

4 - 1 / (t - 4) +5+2 / (2t -3) > 4 -2 / (2t -7) +5 +1 / (t - 1)  ;

- 1 / (t - 4) +2 / (2t -3) >  -2 / (2t -7) + 1 / (t - 1) ;

- 1 / (t - 4) +2 / (2t -3) >  1 / (t - 1) - 2 / (2t -7)  ;

(-2t +3+2t - 8) / (t - 4) (2t -3) >  (2t -7 -2t+2) / (t - 1)  (2t -7) ;   || : (5)

1 / (t - 4) (2t -3)  <  1 / (t - 1)  (2t -7)  ;    

1 / (t - 4) (2t -3)  -  1 / (t - 1)  (2t -7)  < 0  ;

( (t - 1)  (2t -7) - (t - 4)(2t- 3) ) / (t - 4) (2t -3)(t - 1)  (2t -7) < 0  ;

( 2t² - 9t +7 - 2t²  +11t - 12) ) / (t - 4) (2t -3)(t - 1)  (2t -7) < 0  ;

2( t - 5/2) / 4 (t - 4)(t - 3/2)(t - 1)(t - 7/2)  < 0 ;    * * *  A / B <0 ⇔ A /B ⇔  <0  * * *

(t - 1)(t - 3/2)(t - 5/2)(t - 7/2)(t - 4) < 0      ;            

///////////////  (1) ---------(1,5) /////////// (2,5) ------------ (3,5)  ////////// ( 4 )---------------  

t  ∈ ( - ∞ ; 1 ) ∪ ( 1,5  ; 2,5 )  ∪ (3 , 5 ; 4)    

* * *  ясно  t = 5ˣ  > 0 , это на решении не отражается   * * *

показательная функция  f(x)  = 5ˣ  возрастающая  * * *  5 > 1  * * *  

a) 5ˣ  <  1  ⇔  5ˣ  <  5⁰  ⇒ x ∈ (- ∞ ; 0)  ;

b) 1,5 < 5ˣ < 2,5  ⇒ ㏒₅ 1,5 < x < ㏒₅ 2,5 ;  

c) 3,5 <  5ˣ  < 4  ⇒ ㏒₅ 3,5 < x < ㏒₅ 4  .

ответ : x ∈ (- ∞ ; 0)  ∪ ( ㏒₅ 1,5 ; ㏒₅ 2,5) ∪ (㏒₅ 3,5 ; ㏒₅ 4)  .