Сначала выясним значение каждого слова по толковым и этимологическим словарям.
У слова "шут" есть несколько значений: некий острослов для развлечений при царском дворе; комический персонаж балаганных представлений; в переносном значении - балагур, кривляка, шут гороховый.
Отличительным атрибутом костюма шута был колпак с бубенцами.
*Картина художника А. А. Шишкина (род. 1960).
Скоморох - это актёр бродячей труппы в средневековой Руси, мастер на все руки:
Этимология по Словарю Шанского:
Это те же шуты - во втором значении.
Гаер - это тоже шут. Слово пришло из немецкого языка и является устаревшим:
Паяц - тоже шут, клоун, постоянный персонаж итальянских балаганных представлений. Слово пришло из итальянского языка через немецкий:
Фигляр - тоже шут, клоун, только слово пришло из польского языка:
Что касается употребления, то слово "гаер" является устаревшим.
За цирковыми актёрами комедийного жанра закрепилось слово "клоун". Фиглярами и паяцами их не называют.
Скоморохами и шутами сейчас обычно называют комедийных актёров площадных народных праздников.
Скоморохами, шутами и фиглярами в переносном смысле называют кривляк или балагуров.