Question

1) двестороны основания прямого параллепипедаоравы 3корень из 2 и 4см угол между ними равен 135 градусам. Боковое ребро = 12см .

Найти диагонали параллепипеда. 2) Найдите расстояние межу серединами 2 скрещивавшихсяребер куба. Ребро куба = 2см

Answer 1

1)Диагонали прямого параллелепипеда будут попарно равны. Сначала находим квадраты  диагоналей основания параллелепипеда , используя теорему косинусов

АС2= АВ2+ВС2-2*АВ*ВС*cos 135=(3sqrt(2))2+42-2*3sqrt(2)*4*(-sqrt(2))/2=18+16+24=58

BD2= АВ2+AD2-2*АВ*AD*cos 45=(3sqrt(2))2+42-2*3sqrt(2)*4*sqrt(2)/2=18+16-24=10, а по теореме Пифагора находим диагонали

АС12 = АС2+СС12=582+122=3364+144=3508, АС1= 2sqrt(877)

В1D2 =BD2+BB12= 102+122=100+144=244, B1D=2sqrt(61)

2 Пусть искомое расстояние равно MQ, где точка М середина ВВ1, а Q- середина DC. MQ2= 22+(sqrt(2))2=4+2=6, MQ=sqrt(6)

 

Answer 2

1)Обозначим параллелепипед АВСДА1В1С1Д1 с нижним основанием АВСД.

Найдем диагонали параллелепипеда А1С  и В1Д.

АВСД является параллелограммом, найдем его диагонали АС и ВД, используя теорему косинусов:

АС в квадрате = АД в квадрате + ДС в квадрате - 2АД*ДС*cos 135 = 16 + 18 - 2*4*3корня из 2*cos(180 - 45) = 34 - 24корня из 2*(-cos45) = 34 + 24корня из 2* (корень из2/2) = 58.

Треугольник АА1С - прямоугольный с прямым углом А, По теореме Пифагора

А1С в квадрате = АА1 в квадрате + АС в квадрате = 144 + 58 = 202, тогда А1С = корень из 202 (см)

В параллелограмме АВСД найдем другую диагональ ВД также по теореме косинусов.

Угол ВАД = 180 - 135 = 45град.

В треугольнике АВД по теореме косинусов:

ВД в квадрате = АВ в квадрате + АД в квадрате - 2*АВ*АД *cos 45 = 18 + 16 - 2*3 корня из 2*4*(корень из 2/2) = 34 - 24 = 10

Треугольник ВДВ1 - прямоугольный с прямым углом В1ВД. По теореме Пифагора:

В1Д в квадрате = ВВ1 вквадрате + ВД в квадрате = 144 + 100 = 244, тогда

В1Д = корень из 244 = 2 корня из 61.

Ответ: А1С = корень из 202 см,  В1Д = 2 корня из 61 см.

2) Обозначим куб АВСДА1В1С1Д1 с нижним основанием АВСД. Возьмем скрещивающиеся прямые А1В1 и ДС.

Отметим их середины соответственно К - середина А1В1, М - середина ДД1.

Отметим середину Ребра Д1С1 точкой N.

Соединим точки К, N и М, получим треугольник КМN. Т.к. KN перпендикулярно плоскости Д1С1СД, то КN будет перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой NM, значит треуг. КNM - прямоугольный с прямым углом N.

Найдем в нем КN и МN.

Т.к. ребро куба равно 2см, то  КN = В1C1 = 2см.

Треугольник МД1N - прямоугольный, где угол Д1- прямой, по теореме пифагора МN в квадрате = Д1N в квадрате + Д1М в квадрате = 1 + 1 = 2, тогда МN = корень из 2.

В треугю КNД по теореме Пифагора найдем искомое расстояние КМ.

КМ в квадрате = КN в квадрате + МN в квадрате = 4 + 2 = 6, тогда КМ = корень из 6 см.

Ответ: КМ = корень из 6 см