Question

К графику функции f(x)=корень из (4-x^2) проведена касательная , параллельная прямой y=-корень из(3x) . Найдите ординату точки пересечения этой касательной с осью Оу

Answer 1

1) Запишем уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой а:
$Y(x)=y(a)+y'(a)*(x-a)$
2) Найдем значение функции в точке а:
$y(a)= \sqrt{4-a^{2}}$
3) Найдем производную в точке а:
$y'(a)= \frac{(-2a)}{2\sqrt{4-a^{2}}}=-\frac{a}{\sqrt{4-a^{2}}}$
4) $Y(x)={\sqrt{4-a^{2}}-\frac{a}{\sqrt{4-a^{2}}}*(x-a)=-\frac{a}{\sqrt{4-a^{2}}}*x+{\sqrt{4-a^{2}}+\frac{a^{2}}{\sqrt{4-a^{2}}}$
5) Касательная параллельна прямой: $y=- \sqrt{3}*x$, значит должны быть равны коэффициенты перед х:
$-\frac{a}{\sqrt{4-a^{2}}}=-\sqrt{3}$
$a=\sqrt{3*(4-a^{2})}$
$\left \{ {{4-a^{2} \geq 0} \atop {a^{2}=3*(4-a^{2})} \right.$

$\left \{ {{-2 \leq a \leq 2} \atop {a^{2}=12-3a^{2}} \right.$

$\left \{ {{-2 \leq a \leq 2} \atop {4a^{2}=12} \right.$

$\left \{ {{-2 \leq a \leq 2} \atop {a^{2}=3} \right.$

$\left \{ {{-2 \leq a \leq 2} \atop {a=+-\sqrt{3}} \right.$

6) $y(\sqrt{3})=y(-\sqrt{3})= \sqrt{4-3}=1$

Ответ: ордината точки пересечения равна 1