Question

Решите пожалуйстаДано: ے A =ے B, СО = 4, DO = 6, АО = 5. D О Найти: а) ОВ; б) АС : BD; в) SАОС :SВОDРешите пожалуйста
Дано: ے A =ے B, СО = 4, DO = 6, АО = 5. D О

Найти: а) ОВ; б) АС : BD; в) SАОС :SВОD

Answer 1

Задача решена Пользователем Yura2 Отличник
Добавлен ответ на третий вопрос.

1. Лемма о бантике

Утверждение.
Если есть прямая АВ и параллельная ей прямая СD. А АD пересекает BC = O. То АО : ОD = BO : OC = AB : CD (См. прикрепленный файл)

Доказательство:
1) Угол COD вертикален углу AOB. Следо
вательно по теореме о вертикальных углах они равны.
2) AB параллельно CD (условие), а AD - секущая, следовательно угол ODC = углу OAB, как накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей. 
3) В треугольниках AOB и COD углы COD и AOB и углы ODC и OAB равны следовательно по признаку подобия эти треугольники подобны.
4) Раз треугольники подобны, то AO : OD = BO : OC = AB : CD
Ч.Т.Д.

2. Задача
Дано:                                  Решение.
угол А = углу В                1) Угол А = углу В. АВ секущая. Следовательно прямые 
СО = 4                              АС и BD параллельны (углы А и В накрест лежащие)
DO = 6                             2) CO = 4; DO = 6 следовательно СО : DO = 4 : 6 = 2 : 3
AO = 5                           По теореме о бантике СО : DO = AC : BD = 2 : 3 (пункт б)
_________                      3) СО : DO = AO : OB (лемма о бантике); CO : OD = 2 : 3
Найти                         следовательно AO : OB = 2 : 3. AO =  
а) ОВ - ?                     OB = 
б) АС : ВD - ?             4) AO = ; AO = 5 (условие), следовательно
                                
следовательно 
5)  следовательно:  (пункт а)

Дополнение: площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия, значит
Saoc : Sbod = 4 : 9

Ответ: а) ОВ = 7,5
           б) АС : BD = 2 : 3            в) Saoc : Sbod = 4 : 9