<span>Даны координаты вершин треугольника А(1;2), В(7;-6), С(-1;-12).
</span>1) Найти уравнение стороны ВС, её нормальный вектор и угловой коэффициент<span>.
</span>
![BC: \frac{x-7}{-8}= \frac{y+6}{-6}](https://tex.z-dn.net/?f=BC%3A+%5Cfrac%7Bx-7%7D%7B-8%7D%3D+%5Cfrac%7By%2B6%7D%7B-6%7D++)
,
<span>это уравнение в каноническом виде.
Знаменатели в этом уравнении - это координаты направляющего вектора: </span>направляющий вектор
![p(p_1, p_2)](https://tex.z-dn.net/?f=p%28p_1%2C+p_2%29)
.
Чтобы найти <span>угловой коэффициент, надо уравнение из канонического вида преобразовать в уравнение с коэффициентом:
-6х + 42 = -8у - 48,
6х - 8у - 90 = 0 или, сократив на 2:
3х - 4у - 45 = 0 это общий вид уравнения.
Теперь выразим относительно у:
у = (3/4)х - (45/4) это уравнение с коэффициентом .
Угловой коэффициент уравнения стороны равен ВС 3/4.
Его можно определить по координатам точек:
</span><span><span /><span><span>
Квс
= (Ус-Ув) / (</span><span>Хс-Хв).
</span></span></span>Если прямая задана общим уравнением
![Ax+By+C=0](https://tex.z-dn.net/?f=Ax%2BBy%2BC%3D0)
в прямоугольной системе координат, то вектор
![n(A;B)](https://tex.z-dn.net/?f=n%28A%3BB%29)
<span> является вектором нормали данной прямой.
</span>Нормальный вектор (3;-4).<span>
</span><span>2) Найти точку пересечения медианы, опущенной из вершины А, и высоты, опущенной из вершины В.
Для этого надо найти уравнения этих прямых и решить полученную систему.
Находим координаты точки М (основание медианы АМ) как середину стороны ВС: М((7-1)/2=3; (-6-12)/2=-9.
Отсюда находим уравнение медианы АМ:
</span>
![AM: \frac{x-1}{2}= \frac{y-2}{-11}.](https://tex.z-dn.net/?f=AM%3A+%5Cfrac%7Bx-1%7D%7B2%7D%3D+%5Cfrac%7By-2%7D%7B-11%7D.++)
Находим уравнение высоты из точки В(7;-6) как перпендикуляра (нормали) к стороне АС.
Уравнение ![AC: \frac{x-1}{-2}= \frac{y-2}{-14} .](https://tex.z-dn.net/?f=AC%3A+%5Cfrac%7Bx-1%7D%7B-2%7D%3D+%5Cfrac%7By-2%7D%7B-14%7D++.)
Или в общем виде ![AC: 7x-y-5=0.](https://tex.z-dn.net/?f=AC%3A+7x-y-5%3D0.)
Нормальный вектор стороны АС
, а для высоты ВН он будет направляющим:
Уравнение высоты ![BH: \frac{x-7}{7} = \frac{y+6}{-1} .](https://tex.z-dn.net/?f=BH%3A+%5Cfrac%7Bx-7%7D%7B7%7D+%3D+%5Cfrac%7By%2B6%7D%7B-1%7D+.)
Или в общем виде: -х + 7 = 7у + 42,
<span> х + 7у + 35 = 0.</span>
3) Уравнение прямой, проходящей через точку А параллельно стороне ВС имеет вид <span>3х - 4у - С = 0, так как у</span>равнение ВС: <span>3х - 4у - 45 = 0.
Подставим координаты точки А: </span>3*1 - 4*2 - С = 0, отсюда С = 3-8 = -5.
Тогда искомое уравнение <span>3х - 4у + 5 = 0.</span><span>
</span>