Question

Y=cos2x/sin(x+pi/4) {0;pi/2} производная

Answer 1

Находим производную функции. Воспользуемся формулой производной частного.
$y^{'}=...= \dfrac{(\cos 2x)^{'}\cdot \sin(x+ \frac{\pi}{4}) -\cos 2x\cdot (\sin (x+\frac{\pi}{4}))^{'}}{\sin^2(x+\frac{\pi}{4})} =\\\\ = \dfrac{-2\sin 2x\cdot \sin(x+\frac{\pi}{4})-\cos 2x\cdot \cos(x+\frac{\pi}{4})}{\sin^2(x+\frac{\pi}{4})}$
Приравниваем производную функции к нулю:
$-2\sin 2x\cdot\sin(x+\frac{\pi}{4})-\cos 2x\cdot\cos (x+\frac{\pi}{4})=0|:\cos 2x\cos(x+\frac{\pi}{4})\\ -2tg 2x\cdot tg(x+\frac{\pi}{4})-1=0$
Воспользуемся формулами:
 $tg (a+b)= \dfrac{tga + tg b}{1-tg a\cdot tgb}$ и $tg 2x= \dfrac{2tg x}{1-tg^2x}$

$-2\cdot \dfrac{2tg x}{1-tg^2x} \cdot \dfrac{tgx+1}{1-tg x} -1=0 \\ \\ - \dfrac{4tg x}{(1-tg x)(1+tg x)} \cdot \dfrac{tg x+1}{1-tg x} -1=0\\ \\ \dfrac{-4tg x}{(1-tg x)^2} -1=0$
Приводим дробь к общему знаменателю:
$\dfrac{-4tg x-(1-tgx)^2}{(1-tg x)^2} =0$
Дробь обращается в нуль, если числитель равен нулю :
$-4tg x-(1-tgx)^2=0\\ -4tg x-1+2tgx-tg^2x=0\\ -tg^2x-2tg x-1=0\\ -(tg^2x+2tg x+1)=0\\ -(tg x+1)^2=0\\ tg x = -1\\ \\ x=- \dfrac{\pi}{4}+ \pi n ,n \in \mathbb{Z}$

Подберем корни, которые принадлежат заданному отрезку:
$n=1;\,\,\,\,\, x=- \dfrac{\pi}{4}+\pi = \dfrac{3\pi}{4}$ - не принадлежит заданному отрезку.

Вычислим значение функции на отрезке:
$y(0)= \dfrac{\cos(2\cdot 0)}{\sin (0+ \dfrac{\pi}{4} )} = \dfrac{1}{ \dfrac{1}{\sqrt{2}} } =\sqrt{2}$ - наибольшее значение


$y( \dfrac{\pi}{2} )= \dfrac{\cos(2\cdot \dfrac{\pi}{2}) }{\sin ( \dfrac{\pi}{2} + \dfrac{\pi}{4} )} = \dfrac{-1}{ \dfrac{1}{\sqrt{2}} } =-\sqrt{2}$ - наименьшее значение