Question

Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой y=2x^2 - 6x, касательной в точке x=1,5 и осью y.

Answer 1

Парабола у=2х²-6х пересекает ось ОХ при х=0 и х=3,
вершина в точке (1,5 ; -4,5) , ветви вверх.
Так как касательная в точке х=1,5 , то это касательная
в вершине (точке минимума), и поэтому она
параллельна оси ОХ. 
Получаем область , ограниченную слева осью ОУ, 
внизу - прямая у=-4,5 и справа - частью параболы.
( Похоже на прямоуг. треугольник)

$S= \int\limits^3_0 {(2x^2-6x+4,5)} \, dx =(\frac{2}3}x^3-3x^2+4,5x)|_0^{\frac{3}{2}}=\\\\=\frac{2}{3}\cdot (\frac{3}{2})^3-3\cdot \frac{9}{4}+\frac{9}{2}\cdot \frac{3}{2}=\frac{9}{4}\cdot (1-3+3)=\frac{9}{4}=2,25$