Лично мне нравится больше всего доказательство теоремы Эйлера, приведенной на рисунке. Оно очень наглядное, там сразу всё видно.
Дана окружность с центром O, ABC - вписанный треугольник.
Точка C1 противоположна C на окружности, что есть CC1- диаметр, O - его середина.
Пусть M - середина AB. H - точка пересечения высот треугольника ABC.
Тогда AH II BC1; так как обе прямые перпендикулярны BC; и так же BH II AC1; то есть AHBC1 - параллелограмм.
Поэтому точка M является серединой не только AB, но и C1H; так как диагонали параллелограмма пересекаются в их серединах.
Следовательно, CM - медиана (внимание!) не только треугольника ABC, то и треугольника CHC1, и - (еще раз внимание!) - точка G является точкой пересечения медиан обоих (!) треугольников.
Другой медианой треугольника CHC1 как раз и является прямая Эйлера HO, то и завершает доказательство - точка G лежит на OH.
Ясно так же, что HG/GO = 2, как и бывает всегда у медиан.
столб
|
|
|
| человек
|_____8м_____|_2м_
Если провести линию, соединяющую точку, где висит фонарь, с точкой, где кончается тень, то эта линия коснется макушки человека. То есть мы имеем дело с подобными треугольниками: признак подобия по двум углам (фонарь и человек стоят перпендикулярно земле - один угол, второй угол - место схождения нашей воображаемой линии и линии тени).
Коэффициент подобия k=2/(8+2)=0,2
1,5:0,2=7,5 (м) - искомая высота
Ответ: фонарь закреплён на высоте 7,5 метров.
Угол F = 75+3 угла REF
Сумма углов треугольника - 180
180=75+3x
3x=105
x=35
Угол E и угол F - 75+35=110 градусов
Угол T = угол R = 180-75-35=70 градусов
Ответ: 70, 70, 110, 110
1. Угол ADE= углу CED - накрест лежащие, значит треугольник ECD-равнобедренный, а значит EC=CD=8
2. Сторона BC=BE+EC= 2+8=10
3. P= 10+10+8+8=36