Глагол охотиться относится к числу таких глаголов, которые могут употребляться в разных предложных сочетаниях.
Нужно различать смысловые оттенки, от которых и зависит, какой предлог следует употребить.
Например.
Мой дедушка любит охотиться на зайцев-русаков, а мы с удовольствием едим жаркое из зайчатины.
Бедный заяц! И люди, и волки, и лисы охотятся на зайца.
В этих предложениях-примерах глагол охотиться имеет значение "убивать, лишать жизни КОГО-ЛИБО".
Вот и употребляется сочетание охотится кто-то НА КОГО-ТО.
Охотятся на соболей, куниц и других пушных зверей с целью добычи ценного меха.
А вот если человек выслеживает кого-то, ищет следы, чтобы напасть и поймать кого-нибудь и принести домой, то есть добывает путем ловли, а не умерщвления, то обычно употребляется конструкция охотиться ЗА кем-либо.
Например, тот же дедушка пошел на охоту ЗА певчими птичками. Или этот глагол может употребляться в переносном смысле, когда охотятся ЗА "языком", чтобы получить от него какие-то сведения. Охотятся ЗА разведчиком.
Так что в приведенных автором вопроса предложениях, скорей всего, и муж, и кошка охотятся НА зайца и НА птичку с целью съесть их, то есть лишить жизни.
Вот такие нюансы возникают при употреблении того или иного предлога (и соответственно падежа) при глаголе охотиться.