S= n(n+1)/2= 243k= 3^5*k.
n(n+1)= 2*243k= 486k= 2*3^5*k.
Значит, нужно найти два последовательных натуральных числа, произведение которых должно быть делимо и на 2 (т. е. одно из них д. б. чётным, что всегда соблюдается) и на 3^5. Если оно из чисел делится на 3, то соседние ему числа не делятся на 3. Следовательно, одно из чисел обязательно должно быть делимо на 3^5= 243. Наименьшее из таких чисел: 243. Рядом с ним есть два числа: 242 и 244. Выбираем меньшее из них: 242. Таким образом, n= 242.
Пусть длина комнаты будет равна х (м), а ширина - у (м). Известно, что периметр комнаты равен 46 м, а ее площадь составляет 90 м². Составлю систему уравнений:
![\left \{ {{2(x+y)=46} \atop {xy=90}} \right. \\ \left \{ {{x+y= 23} \atop {xy=90}} \right. \\ \left \{ {{x=23-y} \atop {y(23-y)=90}} \right. \\ -y^{2}+23y-90=0 \\ y^{2}-23y+90=0 \\ D= 529-360=169 \\ y_{1}= \frac{23-13}{2} = 5, y_{2}= \frac{23+13}{2} = 18 \\ x_{1}= 23-18 = 5, x_{2}=23 - 18 = 5 ](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cleft+%5C%7B+%7B%7B2%28x%2By%29%3D46%7D+%5Catop+%7Bxy%3D90%7D%7D+%5Cright.++%5C%5C++%5Cleft+%5C%7B+%7B%7Bx%2By%3D+23%7D+%5Catop+%7Bxy%3D90%7D%7D+%5Cright.++%5C%5C++%5Cleft+%5C%7B+%7B%7Bx%3D23-y%7D+%5Catop+%7By%2823-y%29%3D90%7D%7D+%5Cright.+%5C%5C+-y%5E%7B2%7D%2B23y-90%3D0+%5C%5C+y%5E%7B2%7D-23y%2B90%3D0+%5C%5C+D%3D+529-360%3D169+%5C%5C+y_%7B1%7D%3D++%5Cfrac%7B23-13%7D%7B2%7D+%3D+5%2C+y_%7B2%7D%3D++%5Cfrac%7B23%2B13%7D%7B2%7D+%3D+18+%5C%5C+x_%7B1%7D%3D+23-18+%3D+5%2C+x_%7B2%7D%3D23+-+18+%3D+5+++%0A)
Ответ: 18м и 5 м.
Log^2_{√6)216=log^2_{6^1/2}216=2*log^2_{6}216=2*9=18.