Question

Решим? 3.logx^2(16)+log2x(64)= 3 4.3^(log3(x))^2+x^log3(x)=162

Answer 1

$\log_{x^2}16+\log_{2x}64= 3$
ОДЗ:
$\left \{ {{x>0} \atop {x \neq \pm1}} \right.$
Решаем:
$\log_{x^2}16+\log_{2x}64= 3 \\\ \log_{x^2}2^4+\log_{2x}2^6= 3 \\\ 4\log_{x^2}2+6\log_{2x}2= 3 \\\ \frac{4}{\log_2x^2} + \frac{6}{\log_22x}= 3 \\\ \frac{4}{2\log_2x} + \frac{6}{\log_22+\log_2x}= 3 \\\ \frac{2}{\log_2x} + \frac{6}{1+\log_2x}= 3$
$2(1+\log_2x)+6\log_2x=3\log_2x(1+\log_2x) \\\ 2+2\log_2x+6\log_2x=3\log_2x+3\log^2_2x \\\ 3\log^2_2x-5\log_2x-2=0 \\\ D=5^2-4\cdot3\cdot(-2)=49 \\\ \log_2x= \frac{5+7}{6} =2\Rightarrow x_1=2^2=4 \\\ \log_2x= \frac{5-7}{6} =- \frac{1}{3} \Rightarrow x_2=2^{- \frac{1}{3}}= \frac{1}{2^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{ \sqrt[3]{2} }$
Оба корня удовлетворяют ОДЗ
Ответ: 4 и $\frac{1}{ \sqrt[3]{2} }$

$3^{(\log_3x)^2}+x^{\log_3x}=162$
ОДЗ:
$x>0$
Решаем:
$3^{(\log_3x)^2}+x^{\log_3x}=162 \\\ 3^{\log^2_3x}+x^{\log_3x}=162$
Замена:
$\log_3x=c\Rightarrow 3^c=x$
$3^{c^2}+(3^c)^{c}=162 \\\ 3^{c^2}+3^{c^2}=162 \\\ 2\cdot3^{c^2}=162 \\\ 3^{c^2}=81 \\\ 3^{c^2}=3^4 \\\ c^2=4 \\\ c=\pm2$
Обратная замена:
$\log_3x=2\Rightarrow x_1=3^2=9 \\\ \log_3x=-2\Rightarrow x_2=3^{-2}= \frac{1}{3^2} =\frac{1}{9}$
Оба корня удовлетворяют ОДЗ
Ответ: 9 и 1/9