Question

Образующая конуса равна 16 см. Угол при вершине его осевого сечения 120 градусов. Вычислите объем конуса. помогите пожалуйста! иОбразующая конуса равна 16 см. Угол при вершине его осевого сечения 120 градусов. Вычислите объем конуса. помогите пожалуйста! и решение если можно максимально подробно расспишите

Answer 1

$SO$ -  высота конуса

$SK=SL$  - образующие конуса

$OK=OL$ - радиусы

Δ $KSL$  - осевое сечение конуса

$\ \textless \ KSL$ -  угол при вершине осевого сечения конуса

$V= \frac{1}{3} \pi R^2*H$

$\ \textless \ KSL=120^\circ$

$SL=16$  см

$V= \frac{1}{3} \pi *OL^2*SO$

Рассмотрим осевое сечение конуса:

Δ $KSL$ -  равнобедренный треугольник, так как 

$SK=SL=16$  см

$SO -$  высота, медиана и биссектриса Δ $KSL$, 

т. е. $SO$ ⊥ $KL$

$OL=OK$   и $\ \textless \ KSO=\ \textless \ LSO=60^\circ$

Δ $SOL -$ прямоугольный  ($\ \textless \ SOL=90^\circ$)

$\ \textless \ LSO=60^\circ$,  значит  $\ \textless \ SLO=30^\circ$

Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы.

Значит $SO= \frac{1}{2}SL$

$SO= \frac{1}{2}*16=8$  см

По теореме Пифагора найдем 
$OL= \sqrt{SL^2-SO^2} = \sqrt{16^2-8^2} = \sqrt{(16-8)(16+8)} = \sqrt{8*24}=$$\sqrt{8*8*3}=8 \sqrt{3}$  см

$V= \frac{1}{3}* \pi *(8 \sqrt{3})^2*8= \frac{1}{3}* \pi *64*3*8=512 \pi$  см³

Ответ: $512 \pi$  см³