Question

Бічна сторона рівнобедреного трикутника точкою дотику вписаного кола ділиться у відношенні 8 : 9,рахуючи від вершини кута при основі трикутника. Знайдіть площу трикутника, якщо радіус вписаного кола дорівнює 16 см.

Answer 1

1) В равнобедренном ΔАВС АС=ВС и СМ - высота, медиана и биссектриса,
ОМ - радиус вписанной окружности, КА=АМ=NB=MB=8x, KC=CN=9x.
Площадь треугольника можно найти по формуле:
S=1/2AB*CM.
2) Рассмотрим ΔCMB - прямоугольный.
По т.Пифагора находим СМ=√(ВС²-ВМ²)=√((17х)²-(8х)²)=√(289х²-64х²)=
=√(225х²)=15х.
Так как центр вписанной окружности - это точка пересечения биссектрис, то можно использовать свойство биссектрисы: b:c=b1:c1.
Используем это свойство для ΔСМВ и биссектрисы ВО:
СB:BM=CO:OM;
17x:8x=CO:16;
17:8=CO:16;
CO=17*16/8=34 (см).
СМ=СО+ОМ=34+16=50 (см).
СМ=15х=50;
x=50/15=10/3.
3) ΔABC: AB=16x=16*10/3=160/3 (см).
СМ=50 см.
Находим площадь ΔАВС:
S=1/2*AB*CM=1/2*160/3*50=4000/3=1333$\frac{1}{3}$ (см²).
Ответ: 1333$\frac{1}{3}$ см².