Исходя из того, что нам известно, весьма вероятно, что смогла бы. Численность вторгшихся кочевников сейчас оценивается примерно в 30 - 60.000 человек. Верхняя цифра - максимум, а скорее 40 - 50.000. Если не брать в расчёт явно фантастические цифры русских летописей - многие десятки и сотни тысяч бойцов в русских армиях, то всё равно: в сумме русские княжества, пожалуйста, сумели бы выставить не меньшее или немногим меньше количество воинов. И, естественно не набранных с полей крестьян. А профессиональных дружинников, и городовые полки, также состоявшие большей частью из людей с определённым военным опытом.
второе. Русским гораздо проще было бы пополнять войска. В конце концов, в 1237-38 годах на Русь вторгался экспедиционный корпус. Воевавший без опоры на базы снабжения.
Третье. Во время вторжения, по крайней мере в начале, русские князья следовали привычной тактике: стремились дать полевые сражения. Такова была традиция, до сих пор вполне успешно показавшая себя в сражениях с привычными вторжениями кочевников. Вот только на этот раз кочевники были совсем другими…
В итоге, проиграв сражения на реке Воронеж и под Коломной, уведя дружину из Владимира, где оставляли города без профессиональной защиты. Войско выбито или ушло на соединение с подкреплением. Город защищают горожане. Долго ли он продержится? А после этого и войск серьёзных не осталось, да и князей поубавилось, и единого руководства не стало.
Четвёртое.
Вторжение не было неожиданным. Судя по отчетам бывших на Руси незадолго до того иностранцев, незадолго до вторжения Владимир растягивались Вася. И рязанцы готовились. И просили о помощи Владимирского великого князя. Но! Рязань - давний оппонент Владимира. И помощь оказана не была. Затем Великий князь Юрий раздробил силы, отправив часть дружины к Коломне. А после поражения под Коломной увел оставшиеся войска из Владимира. Ушёл собирать силы.
Пятое.
При этом, насколько известно, и под Коломной, и на Калке, русские войска весьма успешно действовали. Основная часть ордынской конницы - лёгкая, не способная противостоять традиционной рыцарской тактике: копейному удару тяжёлый кавалерии. то есть, в прямом столкновении дружинники имели неоспоримое преимущество.
Отсюда: да, если бы князья собрали единое войско под единым руководством ( а делать это на Руси умели, как пример - войны Юрия Долгорукого и Андрея Боголюбского) - шансы победить были бы велики. Даже если бы русские уступали в численности.
Вот как-то так.
