Для начала - что такое вообще пространство и его измерения. Ну, давайте договоримся, что пространство - это способ задать положение точки однозначным образом. Для этого в пространстве вводится система координат, например, декартова (прямоугольная). Тогда положение точки при выбранных осях координат однозначно определяется несколькими числами. Число измерений показывает, сколько раких чисел надо задать для каждой точки. Например, на плоскости необходимо и достаточно задать 2 числа (абсциссу и ординату), то есть плоскость - пространство двух измерений. В нашем реальном пространстве таких координат понадобится уже 3 - добавляется аппликата (ось Z).
Поскольку свойства объектов можно изучать и без того, чтоб их рисовать - чисто аналитически, формулами, - то, вообще-то, запросто можно оперировать пространствами какой угодно размерности. 4, 5, ну и так далее. В некоторых разделах математики рассматриваются бесконечномерные пространства (примером такого пространства могут служить тригонометрический функции - представление периодической функции в виде ряда Фурье как раз точкой такого пространства и является: ведь этот ряд, строго говоря, содержит бесконечное число членов). Что интересно - что основные уравнения, задающие в пространстве плоскость или прямую, мало изменяются с ростом размерности пространства. Ну то есть изменяются, что вполне естественно, но это лишь изменение числа "кирпичиков" в таком уравнении - при том, что сами кирпичики одни и те же. Например, каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки, в двумерном пространстве выглядит так:
(x-x2)/(x1-x2) = (y-y2)/(y1-y2)
Оно же в трёхмерном:
(x-x2)/(x1-x2) = (y-y2)/(y1-y2) = (z-z2)/(z1-z2)
Просто добавился ещё один кирпичик. Теперь не штука написать такое же ураврение для пространства с любым числом измерений. И прямая в пространстве с числом измерений больше 3 называется гиперпрямой, вот и всё. То есть приставка "гипер" просто означает, что у нас не обычное пространство с двумя или тремя измерениями, к которым мы привыкли, а 4 и больше измерений.
То же самое относится и к плоскости или гиперплоскости. Если в обычном пространстве уравнение плоскости выглядит как Ax1 + BX2 + Cx3 + D = 0 (переменные тут обозначены как х1, х2, х3), то уравнение гиперплоскости в 6-мерном пространстве (чисто для стёба) будет таким:
Ax1 + BX2 + Cx3 + Dx4 + Ex5 + Fx6 + G = 0.
Как видите, ничего сложного.
Важное замечание: для двумерного пространства (плоскости) это уравнение превращается в Ax1 + BX2 + C = 0. То есть прямая на плоскости - частныый случай гиперплоскости в двумерном пространстве.
Теперь вернёмся к кубу. Что такое куб в обычном трёхмерном пространстве? Это часть пространства, ограниченная плоскостями, перпендикулярными осям координат и отстоящими от начала координат на одно и то же расстояние. Например, куб размером 4х4х4 ограничен плоскостями х1 = 2 и х1 = -2, х2 = 2 и х2 = -2, х3 = 2 и х3 = -2.
(Пояснение для зануд: уравнение х1=2 для трёхмерного пространства есть частный случай общего уравнения плоскости при А=1, В=0, С=0 и D=-2)
Не штука теперь догадаться, что гиперкуб размером 4х4х4х4х4 (в пятимерном пространстве) есть область пространства, ограниченная десятью гиперплоскостями ровно такого же вида (добавляются ещё две пары гиперплоскостей для переменных х4 и х5).
Вот и вся любовь. Как видите, ничего сложного. Свойства такого гиперкуба запросто вычисляются из приведённых уравнений - совсем не обязательно стараться представить себе, как эта хреновина выглядит...
