Пустырь - это заброшенное пространство, расположенное на месте бывшего жилья, в черте или за чертой поселения, без древесного покрова.
Пустыня - это, в основном, равнинная поверхность со специфической флорой и фауной, обусловленной неблагоприятными климатич.условиями, вопреки расхожему мнению, пустыни могут находиться не только в тропиках и субтроп., но и в Арктике и Антарктике. Пустыни по типу почвы могут быть песчаные, глинистые, каменистые, солончаковые и проч., всех их объединяет положение слабого растительного покрова.
Пустошь - это запущенный участок земли, заросший травяной, лишайниковой или кустарниковой формой растительности и различаемый по типу биотопа (например, вересковая пустошь на кислых почвах; мохово-лишайниковая пустошь на разреженных или каменистых почвах, болотистая пустошь и проч. )
Если определить (конечно же -условно) местоположение пустоши в этой линейке метаболизма экосистем, я бы поставила пустошь после пустыря, подразумевая зарастание поврежденного почвенного слоя пустыря растительностью.