Розенталь даёт общие правила написания наречий, не выделяя в отдельный пункт те, что имеют префикс (приставку) ПО-, и правила его справочника никак не ограничиваются условиями дефисного написания данного префикса, поэтому попытаюсь собрать всё, что есть в этом справочнике и чего в нём нет, в одном ответе.
1) Слитно префикс ПО- пишется с наречиями, образованными:
- из существительных пространственных с предлогом ПО: по́верху, по́низу, по́боку. Трудность здесь такая: наречия эти часто путают с омонимичными сочетаниями имён существительных с предлогом. Как правило, разграничить их нетрудно: в наречиях ударение падает на префикс, они относятся к глаголу-сказуемому и не имеют при себе слов, расширяющих представление о пространстве: По́верху лежал только что выпавший снег. Метель шла по́низу. В омонимичных же сочетаниях ударен корень знаменательного слова, предлог, являясь проклитикой, не имеет собственного ударения, а вот зависимые слова, рисующие пространство более подробно, при них есть: ПО ВЕ́РХУ КРЫШИ проложен желобок. ПО НИ́ЗУ ЮБКИ пришита оборка;
- из существительных с предлогом, когда нельзя между ними вставить определяемое прилагательное или местоимение с тем, чтобы не изменился смысл: понево́ле, позаре́з;
- от устаревших форм именных, которые в языке современном уже не находят употребления: поо́даль (от о́даль), пополу́дни (от полу́дни), понаслы́шке (от наслы́шка), повечеру́ (от вечеру́) и др.;
- от наречий, не имеющих степеней сравнения: повсю́ду, поку́да;
- от наречий в простой сравнительной степени: поме́ньше, погро́мче, повы́ше, пора́достнее, поспоко́йнее, поглу́бже и пр.;
- от прилагательных кратких на -У (раньше подобные прилагательные склонялись, отсюда и конечная У, которая в наречиях превращается в суффикс): подо́лгу, по́просту, по́пусту;
- от местоимений, не являющихся притяжательными: поэ́тому (от этот), посему́ (от сей). По-вся́кому (от вся́кий), а также просторечное, но довольно распространённое нынче по-любому (от любой) – исключения.
2) Через дефис приставка ПО- пишется в наречиях, образованных от имён прилагательных или притяжательных местоимений способом префиксально-суффиксальным – с помощью префикса ПО- и суффикса:
- -ОМУ-, -ЕМУ-: по-но́вому мыслить, по-пре́жнему надеяться, по-мо́ему решил;
- -И-: по-францу́зски говорить, по-латы́ни читать, по-дру́жески помочь, по-во́лчьи жаден, по-сво́йски.
Розенталь, излагая этот пункт, обращает внимание не на суффиксы, а на концовку наречий с приставкой ПО-, пишущейся через дефис:
В иных же школьных учебниках упомянут несуществующий суффикс -СКИ- (это 2 суффикса: -СК-, оставшийся от прилагательного, и -И-, образовавший собственно наречие).
3) А ещё есть сочетания наречные – нечто остановившееся на пути перехода из существительных с предлогом в наречия, оставшееся где-то посерединочке между этими классами слов. Как правило, таковые сочетания не в прямом значении употребляются, а в переносном, входя в состав фразеологизмов; относятся они, как и наречия, к глаголу-сказуемому и могут заменяться синонимичными наречиями. ПО в таких наречных сочетаниях пишется раздельно: ходить по струнке (струночке), жить по старинке, дел было по горло, по уши увяз в проблемах; приобрела по дешёвке, поговорили по душам и др.