Прилагательное домашний, отвечающее на вопрос КАКОЙ? и обозначающее признак предмета, изменяется по числам, родам и падежам, как и имена существительные, с которыми это прилагательное может сочетаться.
При этом предлог, употребляющийся в сочетании с существительным, пишется с ним раздельно, что легко и просто проверяется вставкой какого-либо слова между предлогом и прилагательным или простой перестановкой прилагательного за определяемое им существительное.
Например. Валентина Владимировна в командировках всегда очень скучала по домашнему уюту ( можно и так написать: по привычному домашнему уюту или по уюту домашнему скучала).
Эти действия показывают, что сочетание предлога и прилагательного пишется раздельно (кстати сказать о том, что предлог относится здесь к существительному).
Есть и наречие, по звучанию совпадающее с указанным сочетание "по домашнему".
Это наречие образовано при помощи суффикса "-ому", совпадающим с окончанием прилагательного в дательном падеже, и приставкой "по". Если попытаться вставить между приставкой и прилагательным какое-нибудь другое слово, то ничего не получится. Уже будет точно не наречие.
Образованные же таким способом наречия в соответствии с орфографическими правилами нашего русского языка пишутся через дефис -- по-домашнему.