Между словами «драгун» и «драгоценный» нет ничего общего.
Слово «драгун» - французского происхождения (dragon), образовано от лат. draco – дракон, который и был изображён на знамёнах первых пехотинцев, посаженных на лошадей и спешившихся при встрече с противником. Первые конные полки драгунов, т.е. кавалеристов, появились во Франции в 1550-60 гг., затем в армиях других европейских государств, а в 1631 г. и в России.
Слово же «драгоценный» - исконно русское, производное от «дорог, дорогой, драгой», имеет значение «очень ценный, высоко ценимый, даже бесценный, дорогостоящий, а также дорогой, желанный, милый, ненаглядный», напр.: драгоценные камни, драгоценная картина, или же драгоценный друг, драгоценное здоровье, драгоценное время.
P.S. "Дорогостоящий" - это в значении "высоко ценимый", а не в современном значении "дорого стоящий".
