Если по своей сути, то ничем. Везде одни продают, другие покупают. Ну, а если присмотреться к тонкостям, то, конечно, все отличается.
Базар это восток! Там все просто и скромно. Продают кто угодно и где угодно. Нет никакой системы торговли. Тут сидят с помидорами и рядом мясная лавка. Дальше дыни, а рядом с дынями продают металлические изделия. В воздухе всегда много вкусных запахов. Это в первую очередь шашлык, потом самса, потом плов. Все это витает и вкусно пахнет. Ближе к осени туда добавляется запах персиков, а позже болгарского перца и дынь...
Рынок это уже нечто более организованное. Обычно под крышей. Всего много и все красиво лежит. Все систематизировано. Мясо отдельно, рыба отдельно, овощи отдельно, а молочное отдельно. Пахнет чаще копченой рыбой, чем шашлыком.
Ярмарка - это рынок на праздник. Обычно, если это праздничная ярмарка, то продается много готовой продукции, пирогов, пирожков блинов и так далее. Есть ряды и с изделиями домашних мастеров, ремесленников и прочих мастеров народных промыслов. Ларьки на ярмарках разукрашены и чувствуется праздник. Часто играет музыка. Народ поет и танцует.
Еще бывают сельскохозяйственные ярмарки. Они организуются в основном на период "бабьего лета". Чтобы труженики села могли продать свои излишки. Там нет праздничного ажиотажа, зато там самая дешевая продукция.
Я написал типичные признаки каждого из указанных мест торговли. Но, конечно, часто бывают исключения. Например, сейчас в Ташкенте все крупные базары крытые и там все красиво и систематизировано лежит. От московского рынка мало отличается. А есть рынки в маленьких городках России ничем не отличающиеся от типичного базара. Все относительно.