Нет, нельзя.
Троица - один из великих религиозных праздников, к таким праздникам загодя готовятся, а в сам праздник не работают, накануне все сделать надо. И с рассадой томатов, и со всеми другими посадками.
Так как Троица не привязана к определенному дню года, а высчитывается по лунному календарю, она более приближена к сельхоз работам и зависит от Пасхи, и ещё называется "пятидесятница" (т.е. на пятидесятый день после Пасхи - через 7 недель).
Поэтому и длится она три дня: Троицкая суббота (по другому - родительская, день поминовения усопших, после кладбища еще можно что-то посадить, но только если действительно на кладбище сходил), затем сама Троица - великий праздник и потом понедельник - Духов день, когда земля - именинница и к земле и прикасаться нельзя.
После самой Троицы садить уже считается и незачем - ничего не родит и все в ботву уйдет.
В этом 2016 году Троица приходится на 19 июня, поэтому времени достаточно для посадок. А в конце первого летнего месяца действительно садить уже ничего не стоит, а можно только то, что уже садится чаще всего только в июле для зимнего хранения: черная редька, дайкон, редис.