Раздельное или слитное написание слов НЕ СМОТРЯ и НЕСМОТРЯ НА зависит от того, какой частью речи они являются. Деепричастие НЕ СМОТРЯ, как и все деепричастия, с частицей НЕ пишется раздельно.
Например. Бабушка быстро перебирала спицами и делала эту работу, не смотря на нее. Лучше вязать не смотря, чем идти по улице не смотря себе под ноги.
В этих предложениях используется деепричастие с частицей НЕ.
Как же понять, что именно деепричастие? Есть несколько признаков, по которым это определяется.
Деепричастие всегда показывает добавочное действие, в предложении присутствует другой глагол, обозначающий прямое действие. В приведенных предложениях основные глаголы "делала" и "идти", а добавочное действие выражено деепричастием "не смотря". НЕ СМОТРЯ здесь можно заменить словом НЕ ГЛЯДЯ, необязательно после него ставить предлог НА: можно без предлога, можно с другим предлогом (не смотря ПОД ноги).
Кроме того, можно задать вопрос от основного глагола: ЧТО ДЕЛАЯ? -- НЕ СМОТРЯ.
Вот другое предложение. НЕСМОТРЯ НА усталость девушка продолжала готовиться к экзамену.
Здесь НЕСМОТРЯ НА - предлог. Он не разделяется: НА тоже включается в предлог, который состоит из двух слов. Первое слово в этом предлоге пишется слитно. Его можно заменить другими предлогами, например: вопреки, наперекор.
От него невозможно задать вопрос. Если стоит предлог НЕСМОТРЯ НА, всегда есть какое-нибудь противопоставление: девушка устала, но она занимается; хотя девушка устала, она занимается.
Все это свидетельствует о том, что перед нами предлог.
Ваши случаи нужно рассматривать так же, как предыдущие, то есть преминив хотя бы один из указанных способов, по которым можно отличить деепричастие и предлог.
НЕСМОТРЯ НА то, что непогода не прекращалась, у туристов сохранялось хорошее настроение => НАПЕРЕКОР погоде ...
Он бросал в него всем подряд, НЕ СМОТРЯ на то, что оказывалось под рукой.