Весь огород сплошь зарос сорняками.
Зарос КАК? КАКИМ ОБРАЗОМ? -- сплошь. Слово выделенное обозначает признак по действию глагола, следовательно, относится к такой части речи, как наречие.
Выяснив принадлежность слова к определенной части речи, вспомним и правила правописания.
Сплошь -- наречие с шипящей буквой на конце.
В соответствии с правилом русского языка после шипящих на конце наречий пишется мягкий знак.
Например: вскачь, наотмашь, напрочь, невмочь, точь-в-точь. Есть и исключения из этого правила, но всего три известных всем прошедшим школьный курс русского языка наречия, которые я не буду даже приводить в своем ответе.
Приведу несколько примеров предложений с наречием сплошь.
Матушка-рожь кормит всех сплошь. (Пословица).
Валерий очень любит читать: он сплошь да рядом зачитывается до четырех часов утра.
Сплошь да рядом -- фразеологический оборот.